一题多解，撞击数学思维的解题功效

《一题多解，撞击数学思维的解题功效》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、一题多解，撞击数学思维的解题功效　　数学是一门思维的科学，因此，在数学教学过程中，如何撞击学生的数学思维是教学内容的核心环节，也是数学的魅力所在。然而怎样才能使这一环节最优化呢？美国著名数学教育家乔治?波利亚指出：“掌握数学就意味着解题。”由此看来，解题教学是数学教学永不过时的旋律。而“一题多解”恰恰是既能帮助学生跳出题海，又能实现“怎样解题、怎样学会解题”，从而提高学生数学思维能力的最有效的途径之一。下面通过两道典例，希望能够撞击出学生学习数学的思维火花。　　一、以“函数”为背景的试题　　例1.已知函数：f（x）=ax2-c，满足：-4≤f（1）≤1，-1≤f（2）≤5，求f（

2、3）的取值范围。　　方法（1）：首先利用函数与方程的思想由f（1）和f（2）表示出a和c，其次再代入f（3）的表达式从而用f（1）和f（2）来表示f（3），最后运用已知条件确定f（3）的取值范围。　　解析：∵f（x）=ax2-c∴f（1）=a+cf（2）=4a-c即a-c=f（1）4a-c=f（2）解得：a=■[f（2）-f（1）]，c=■f（2）-■f（1）∴f（3）=9a-c=■f（2）-■f（1）　　又-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5∴■≤-■f（1）≤■①，-■≤■f（2）≤■②∴①+②：-1≤■f（2）-■f（1）≤20即-1≤f（3）≤203　　方法（2）：设

3、：f（3）=mf（1）+nf（2）利用待定系数法求出参数m、n的值，从而用f（1）和f（2）来表示f（3），以下解法同方法（1）。　　解析：设：f（3）=mf（1）-nf（2）　　则f（3）=9a-c=m（a-c）+n（4a-c）=（m+4n）a-（m+n）c　　∴m+4n=9m+n=1解得：m=-■n=■∴f（3）=9a-c=■f（2）-■f（1）以下解法同方法（1）。　　方法（3）：从线性规划的角度来看，条件-4≤f（1）=a-c≤-1-1≤f（2）=4a-c≤5表示变数a、b的线性约束条件，而f（3）=9a-c表示目标函数。　　解析：画可行域如图示，显然，当直线f（3）=9

4、a-c过点A（0，1）和点B（3，7）时分别取得最小值与最大值，即f（3）min=9×0-1=-1，f（3）max=9×3-7=20∴-1≤f（3）≤20。　　点评：方法（1）和方法（2）实质上是用同一角度来分析的，即在利用不等式基本性质求范围时，一定要注意不等式的等价变形，本试题容易出现的错误是由f（1）和f（2）的范围去求a和c的范围进而求出所谓f（3）的范围。其错误原因可以通过方法（3）得以验证。　　二、以“三角函数”为背景的试题　　例2.（05全国卷Ⅰ理17题）设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π<φ<0），y=f（x）图像的一条对称轴是直线x=■.（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）

5、及（Ⅲ）略　　方法（1）：利用y=Asin（ωx+φ）的图像与性质――“对称轴过最值点”通性通法求解。　　解析：∵直线x=■是函数y=f（x）的图像的对称轴3　　∴sin（2×■+φ）=±1　　∴■+φ=kπ+■，k∈Z.即φ=kπ+■，k∈Z.又-π<φ<0，所以k=-1，此时φ=-■　　方法（2）：应用导函数的知识：在三角函数y=Asin（ω+φ）中，对称轴x=x0即为函数的极值点f′（x0）=0求解即可。　　解析：由已知得：f′（x）=2cos（2x+φ）∵直线x=■是函数y=f（x）的图像的对称轴　　∴f′（■）=2cos（2×■+φ）=0，即cos（■+φ）=0，又-π

6、<φ<0　　∴φ+■=-■，故φ=-■　　点评：方法（1）是常规思路，但易忽略对称轴x=■过最高点还是最低点的讨论及k∈Z的注释而失分；方法（2）是一个极其值得提倡的方法，注重“新增内容（如线性规划、向量、导数等）工具化”的数学理念，是高考命题的热点部分。　　古诗云：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”这句诗蕴含的哲理是同一事物从不同角度审视可以得到不同感觉。同样，对于一道数学试题而言，“一题多解”可以使数学知识的“联”与思维方式的“变”有机结合起来，从而撞击学生的数学思维，培养学生的数学意识，训练学生的数学表达，这是数学教学的有效途径之一。“思路清晰、表达规范、结果完美”是检验

7、数学解题的重要标准。笔者在授课过程中深刻地体会到：学生学习数学的感觉是“一听就懂，一看就会”，而实际上“一做就错”。因此，数学不是听懂的，也不是看会的，而是做（解题）出来的。　　（作者单位：河南省长垣县第十中学）3