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1、考点05函数的基本性质知识整合/j一、函数的单调性1.函数单调性的定义减函数增函数一般地，设函数/（兀）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个自变量的值州，吃定义当X,＜x2时，都有/&）＜/（七），那么当年V花时，都有/（西）＞/（花），那么就说函数/（兀）在区间D上是增函数就说函数/（兀）在区间D上是减函数图象描述4\yLA^i）汀（兀2）（）X
2、x2;自左向右看，图象是下降的设丙,兀2w［d，b］，兀］工兀2•若有（兀1一兀2）［/（兀1）一/（兀2）］＞0或—＞0,则/（X）在闭区间［
3、d,b］上是增函数；若有（^-%,）［/（^）-/（^）］＜0或/以）—/任2）＜0,则/（兀）在闭区间［%刃上是减函数.X］—兀2此为函数单调性定义的等价形式.2.单调区间的定义若函数j=/（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性,区间D叫做函数/（x）的单调区间.注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“U”连接.(2)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的
4、单调区间，必须先求函数的定义域.(3)“函数的单调区I'可是A”与“函数在区间B上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B^A.(4)函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.例如函数y=-分别在(-co,0),(0,x+◎内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(一oo,0)U(0,+oo)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(-00,0)和(0,+oo).3・函数单调性的常用结论(1)若f(%),g(兀)均为区间A上的增(减)函数,则/(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2
5、)若£>0,则灯(x)与/(x)的单调性相同；若£<0,则/(x)的单调性相反；(3)函数y=f(x)(/(x)>o)在公共定义域内与y=—/(%)，歹=丄的单调性相反；/(兀)(4)函数y=/(%)(/(%)>0)在公共定义域内与y=J丽的单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；(6)—些重要函数的单调性：①y=x+丄的单调性：在(yo,—1］和［1,+oo)上单调递增，在(-1,0)和(0,1)X上单调递减；®y=ax+—(d〉0,b〉0)的单调
6、性：在—co,一国和叵+co上单调递增，在ba上单调递减.4.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的XG/,都有/(x)7、性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数/（兀）的定义域内任意一个X，都有/•（_x）=/（x）,那么函数/（兀）是偶函数图彖关于），轴对称奇函数如果对于函数/（x）的定义域内任意一个无，都有/（_无）=_/（兀），那么函数/（无）是奇函数图象关于原点对称f（—尢）判断/（-X）与/（X）的关系时，也可以使用如下结论：如果/（-%）-/（%）=0或九f=1（/（劝H0）,则函数/（兀）为偶函数；如果/（-X）+/（%）=0或=一1（/0）工0）,贝I」函数/（兀）为奇函数.注意：由函数奇偶性的定义
8、可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x,-兀也在定义域内（即定义域关于原点对称）.2.函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.（2）/0）,g（x）在它们的公共定义域上有下面的结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)g(x)/(g(x))偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数（3）若奇函数的定义
9、域包括0,则/（0）=0.(4)若函数/(兀)是偶函数，则/(-x)=/(x)=/(
10、x
11、).(2)定义在(70,砂)上的任意函数/(兀)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.(3)若函数y=f(x)的定义域关于原点对称，则/(%)+/(-%)为偶函数，)为奇函数,)为偶函数.(4)掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数f{x)=ax^ax为偶函数，函数f(x)=ax-ax为奇函数.
