2014选修4-5不等式选讲20140604

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1、高中数学新课标选修4-5不等式选讲【知识梳理】1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔________；a＝b⇔________；ab，那么________；如果________，那么a>b.即a>b⇔________。(2)传递性：如果a>b，b>c，那么________。(3)可加性：如果a>b，那么____________。(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么________；如果a>b，c<0，那么________。(5)乘方：如果a>b>0，那么an____bn(n∈N，n>1)。(6)开方：如果a>b>0，那么___

2、_(n∈N，n>1)。3．绝对值三角不等式(1)性质1：

3、a＋b

4、≤________；(2)性质2：

5、a

6、－

7、b

8、≤________；性质3：________≤

9、a－b

10、≤________。不等式a>0a＝0a<0

11、x

12、

13、x

14、>a4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式

15、x

16、

17、x

18、>a的解集(2)

19、ax＋b

20、≤c(c>0)和

21、ax＋b

22、≥c(c>0)型不等式的解法①

23、ax＋b

24、≤c⇔______________；②

25、ax＋b

26、≥c⇔______________。(3)

27、x－a

28、＋

29、x－b

30、≥c和

31、x－a

32、＋

33、x－b

34、≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结

35、合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。5．基本不等式(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么________，当且仅当________时，等号成立。也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均。(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值；②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它

36、们的和S取得最________值。6．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理　如果a，b，c均为正数，那么________，当且仅当________时，等号成立。即三个正数的算术平均____________它们的几何平均。(2)基本不等式的推广：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均__________它们的几何平均，即________，当且仅当________________时，等号成立。7．柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立。(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数

37、，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立。(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则

38、α·β

39、≤

40、α

41、

42、β

43、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立。8．证明不等式的方法(1)比较法：①求差比较法：知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法：由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可

44、，这种方法称为求商比较法．(2)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的____________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立。(5)放缩法：所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_________

45、_______，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．(6)数学归纳法：设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立。1．a－b>0　a－b＝0　a－b<0；2．(1)bc　(3)a＋c>b＋c　(4)