江苏省扬州市2018-2019学年度高三第一学期期中调研数学试题

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b2018—2019学年度第一学期期中调研测试试题高三数学2018．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知i为虚数单位，若复数z满足，则复数z＝．2．函数的定义域为．3．已知x，yR，直线与直线垂直，则实数a的值为．4．已知函数为偶函数，且x＞0时，，则＝．5．已知向量(1，a)，(，)，若∥，则实数a＝．6．设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，cosB＝，那么角A的大小为．7．设实数x，y满足，则的最大值为．8．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为．9．已知条件p：x＞a，条件q：．若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．10．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为．11．若函数(A＞0，＞0，)的部分图像如图所示，则函数在[，0]上的单调增区间为．b b12．在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心，若△ABC的面积为，AC＝，tanC＝2，则＝．13．已知正实数a，b满足，则的最小值是．14．已知函数，（e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，，使得＝＝，则整数a的取值集合是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，设∠BAC＝．（1）求tan的值；（2）若，(0，)，求cos(﹣)的值．16．（本小题满分14分）已知，函数．（1）若对(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，解不等式．b b17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．18．（本小题满分15分）江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为km，km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为（(0，)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．（1）求南京园到柏油路的最短距离关于的表达式；（2）求y的最小值及此时tan的值．（1）（2）b b19．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的右准线方程为x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求△OAB的面积S的范围．20．（本小题满分16分）已知函数，．（1）求在点P(1，)处的切线方程；（2）若关于x的不等式有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；（3）若存在两个正实数，满足，求证：．b b（附加题）21、（10分）在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换下得到的直线过点P（3，2），求实数的值.22、（10分）假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.（1）求连续命中2次的概率；（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.23、（10分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=A1C=2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为轴，直线AC为轴，直线DA1为轴建立空间直角坐标系，解决以下问题:（1）求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值.24、（10分）已知正项数列满足.（1）求证:，且当时，；（2）求证:.参考答案b b1．2．3．4．5．16．7．38．9．10．11．(区间开闭皆可)12．113．14．15．解：（1）由，得，所以，又因为，所以．∴…………6分（2）∵，∴………8分由（1）知：，∴．………14分16．解：（1）∵对恒成立∴对恒成立∵，当且仅当，即时取等号∴…6分（2）当时，，∵∴……（*）①若，则（*）可化为：，所以；…9分②若，则（*）可化为：，解得：或，∵∴…12分由①②可得，（*）的解集为．…14分17．解：∵直线与圆相切∴圆心到直线的距离为．…2分（1）记圆心到直线的距离为，所以．b b当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足题意；…3分当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即所以，解得，此时直线的方程为…6分综上，直线的方程为或．…7分（2）设．∵直线与圆交于、两点，不妨取，∴直线、的方程分别为，令，得，则（*）…13分因为点在圆上，所以，即，代入（*）式得为定值．…15分18．解：（1）∵，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为∴∴………4分（2）分别设点到直线的距离为．由（1）知：∴，………9分∵∴∴当时，（万元）…12分此时∴，解得：………14分答：铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时的值为．………15分b b19．解：（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以，又由右准线方程为，得到，解得，所以所以，椭圆的方程为…4分（2）设，而，则，∵，∴因为点都在椭圆上，所以，将下式两边同时乘以再减去上式，解得，…8分所以…9分（3）由原点到直线的距离为，得，化简得：联立直线的方程与椭圆的方程：，得设，则，且…11分，所以的面积…14分b b因为在为单调减函数，并且当时，，当时，，所以的面积的范围为．…16分20．解：（1），，所以点坐标为；又，，则切线方程为，所以函数在点处的切线方程为．…3分（2）正0负单调增极大值单调减由，得；①时，或，满足条件的整数解有无数个，舍；②时，，得且，满足条件的整数解有无数个，舍；③时，或，当时，无整数解；当时，不等式有且仅有三个整数解，又，，因为在递增，在递减；所以，即，即；所以实数的取值范围为．…8分（3），因为，所以，b b即，令，，…11分则，当时，，所以函数在上单调递减；当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为3．…14分因为存在两个正实数，满足，所以，即，所以或．因为为正实数，所以．…16分（加试部分）21．解：设直线上任意点在矩阵对应的变换下得到的点，则，即，∴…5分代入直线方程得：，将代入上式，解得：．…10分22．解：（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件，则=．…4分（2）命中的次数可取0，1，2，3；，，，0123…8分所以答：的数学期望为2．…10分23．（1）根据题中空间直角坐标系可知：b bA(0,,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0,)，…1分∴∴…3分设异面直线与的所成角为，则，∴…4分（2）由（1）得：，设平面的法向量为，∴∴，取，则…7分∴．…9分设直线与平面所成角为，，则．…10分24．证明：（1）由，解得．…1分下用数学归纳法证明：当时，①当时，．所以不等式成立；②假设当时，不等式成立，即则当时，有则当时，不等式也成立．综合①②，当时，都有．…5分（2）记…6分当时，所以在上是增函数，则，即…8分令，则，b b从而有．…10分b