高二上学期期末联考数学（理）试题

《高二上学期期末联考数学（理）试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.221.双曲线冬丄=1的焦距为()102A.3&B.4^2C.2筋D.0【答案】D【解析】22试题分析：由双曲线一—=1方程得a?=10,b2=2,••-c2=a2+b2=10+2=12,c=2筋,・•・2c=4筋即102焦距为4筋，答案为D考点：双曲线的应用.2.7>1”是“x>l”的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】B【解析】试题分析：X>1时一定有x?>1成立，但当X2>1W有X>1或XV-1,故“X2>1是"x>l”的必要不充分条件，选B.考点：充分必要条件.3.已知向量2=(2,4,5)$=(3,x,y)分别是直线―的方向向量’若L®，则()1515A.x=6,y=15B.x=3,y=—C.x=3,y=15D.x=6,y=—【答案】D【解析】【分析】由11〃】2,利用B=订列方程组求解即可.【详解】・・・1]//12，•••存在实数k使得b=ka,即(3,x,y)=k(2,4,5),3=2k]5••-)x=4k,解得x=6,y=二，故选D・y=5k2【点睛】本题主要考查空间向量共线的性质，意在考查对基本性质的常握情况，属于简单题. 1.对抛物线x2=4y，下列描述正确的是（）A.开口向上，焦点为（0,1）B.开口向上，焦点为（0,2）16C.开口向右，焦点为（1,0）D.开口向右，焦点为（丄,0）16【答案】A【解析】试题分析：由抛物线的定义可知：x2=2py（p>0）开口向上，焦点坐标为（0,|）,所以C为正确答案.考点：抛物线的定义.2.下列有关命题的说法正确的是（）A•命题"若x2==1v的否命题为："若x2=1,J!!|x#1wB.“x=-l”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C.命题“mxGR,使得€+x+1<0”的否定是：“bxGR均有x'+x+lvO”D.命题“若x=y，则smx=siny”的逆否命题为真命题【答案】D【解析】【分析】写出原命题的否命题，可判断A；由充分条件与必要条件的定义，可判断B；写出原命题的否定命题，可判断C；判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同可判断D.【详解】命题“若x2=l,则x=l”的否命题为：“若x2#l,则,故A错误；“x=・1”是5x・6=0”的充分不必要条件，故E错误;命题“存在SxGR,使得x2+x+l<0"的否定是：对任意“WxGR,均有x2+x+l>o"，故C错误；命题“若x=y,则sinx=siny”是真命题，故其逆否命题为真命题，故D正确，故选D.【点睛】本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：（1）首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系；（2）要注意四种命题关系的相対性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；（3）判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除. —+—=]D.—+—=]L*.—+—=]U.—+—=]16916124334【答案】C【解析】由题意知c=l,|F]F』二2,则2a=|P巧|+|啓卜4,所以匕2二3；所以选C7.如图，在正方体ABCD-A’B’cb中，E为A。的中点，则异面直线CE与BD所成的角为()AB兀冗兀冗A•-B.—C•一D.-6432【答案】D【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴、DC为y轴、DD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与BD所成的角大小.【详解】以D为原点，DA为x轴、DC为y轴、DD为z轴，建立空间直角坐标系,设正方体ABCD・ABCD*屮棱长为2,则C(0,2,0),E(l,l,2),B(2,2,0),D(0,0,0),CE=(l-l,2),DB=(2,2,0), •••(±•DB=2-2+0=0,CE1DB,71・•・界面直线CE与BD所成的角为-，故选D.2【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于屮档题.求异而直线所成的角主要方法有两种:一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.7.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，则|ABF()A.8B.6C.12D.7丽【答案】A【解析】【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线方程，与抛物线方程联立，消去y，根据韦达定理求得X]+X2的值，进而根据抛物线的定义可知|AB|=X]+|+X2+|,从而可得结果.【详解】由抛物线方程y?=4x可得抛物线的焦点为(1,0),因为斜率为1,所以直线方程为y=x-l,代入抛物线方程y2=4x得，°x~—6x+1=0，设A(x1,y1),B(x2,y2),••・x】+x?=6,根据抛物线的定义可知pP|AB|=x1+-+x2+-=x1+x2+p=6+2=8,故选A.【点睛】木题主要考查抛物线的定义和儿何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.8.在四面体O-ABC中，点P为棱BC的中点.设OA=a,C)B=b,OC=c,那么向量心用基底{a,bx}可表示为() A・——a+-b+-c222C.a—b+"C22D.ItKB・一a+-b+-c22ItUIt一a+-b+v222【答案】B【解析】【分析】先根据点p为棱bc的中点，贝|」目=^OB+oc),然后利用空间向量的基本定理，用表示向量心即可.【详解】•••点P为棱BC的中点，」1」」・•・OP=-(OB+OC),•••op=op-c5a=^(ob+oc)-oa,X---OA=a,OB=b,OC=c,AP=H：OB+OC)-OA=-a+-b+,故选B.222【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.A.e1>e2>e3B.e3>ej>e20.e1则() 【答案】B【解析】【分析】由已知图形把A(B)的坐标用含有c的代数式表示，把A(B)的坐标代入椭圆方程，结合椭圆的定义与性质分别求出离心率后比较大小可得结论.c1【详解】由图①知’AFi+AF2=2FiF2=>2a=4c,・・・ei=_=_,2222Vc2则h4c2由图②知，点B(c,2c)在椭圆1±,c24c2•••—I1,a2b2整理得c4-6a2c2+a4=0,解得空=&»由图③知,B/cyj3cx2y2在椭圆h訂上,4a24b24a2(a2-c2)整理得e3=^5-1,e3>e1>e2,故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率及简单性质，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查屮是一个重点也是难点，一般求离心率有以下儿种情况：①直接求出&c,从而求出e;②构造a,c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解.27.设Fl、F?是双曲线x2一£=1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P,使4(&+O艮)・F；P=O(0为坐标原点)且|PFJ=A|PF2|J1iJa的值为()1A.-B.21C.-D.33【答案】B【解析】【分析】rh己知中(c5p+of2)-f；p=o,可得op|=|of2|,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得apf1f2是以p直角的直角三角形，进而根据p是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾 股定理构造方程可得IPFJJPFJ的值，进而求出入的值.2【详解】由双曲线方程X?-仝=1，可得a=l,b=2,c=V5，・・・阿2|=62~又•••(OP+0卞2)•F；P=0,・••(OP+0F2)-(OP-OF2)=0,・•・op2-of22=0,|c5p|=|of2|=&故△PF]F2是以p直角的直角三角形，又・・・p是双曲线右支上的点，a|PFJ>|PF2|9.v|^1|=|PF2|+2,由勾股定理可得呼2『+(|PF2|+2)=4c2=20,解得|PF』=2,|PF]|=4,故九=2,故选B.【点睛】本题主要平面向量的儿何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质,属于屮档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也耍联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.7.如右图，在四棱锥P-ABCD屮，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD丄面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为下图中的()【答案】A 【解析】【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符合条件的轨迹为线段PC的垂直平分血与平面AC的交线得到结论.【详解】根据题意可知PD=DC,则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，设AB的中点为N,根据题目条件可知APAN=ACBN,・・・PN=CN,点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”，故动点M的轨迹肯定过点D和点N,可排除B,C,而到点P与到点C的距离相等的点的轨迹是线段PC的垂直平分面，线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，故选A.【点睛】本题主耍考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于难题.二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共16分，把答案填在答题卡相应横线上.7.在空间直角坐标系中，已知e=(2,T,3),b=(-4,2,x).若a丄b,贝吹=.【答案】¥【解析】•t…10试题分析:因为a丄b,所以zb=2x(-4)+(-1)x2+3x=0，解得x=—□3考点：两空间向量垂直的数量积公式。28.过双曲线X?-仝=1的右焦点且与X轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A,B两点，3则AB|=.【答案】4筋【解析】22试题分析：双曲线x2^L=l的右焦点为(2,0),其渐近线方程为y=土筋x,双曲线x2-^=l的33右焦点且与X轴垂直的直线X=2,可得yA=2v5,yB=-2、$,・•・|AB|=4©.考点：双曲线的性质.9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖”，乙说“甲、丙都未获奖”，丙说”我获奖了”，丁说“是乙获奖”。四位歌手的话只有两位是真的，则获奖的歌手是•【答案】丙【解析】 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙.考点：反证法在推理屮的应用.7.在直角坐标系内，点A(x,y)实施变换f后，对应点为A](y,x),给出以下命题：①圆x?+y2=r2(r丰0)上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x?+y2=r2(r丰0);②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b则k=-1；22③椭圆-+^-=l(a>b>0)上每一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线C:y=-x2+2x-l(x>0)±每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C],M是曲线C上的任意一点，N是曲线5上的任意一点，则的最小值为型.4以上正确命题的序号是(写出全部正确命题的序号).【答案】①③④【解析】【分析】利用点A(x,y)实施变换f后，对应点为A】(y,x)这一变换过稈，针对每一个方程给出变换后的正确方程，从而可得结果.【详解】①圆/+y2=r2(r#0)上任意一点实施变换f后，显然互换x,y后，对应点的轨迹仍是圆x2+y2=r2(r^0)，故①正确；②直线y=kx+b上每一点实施变换f后，互换x,y后，对应点的轨迹方程x=ky+b,若应点的轨迹仍是y=kx+b,那么k=±l且b=0,故②错误；2222XVyx③椭圆-+^-=1(3>6>0)上每一点实施变换f后，对应点的轨迹2+石=l(a>b>0),两个椭圆矿b~a~b~的离心率相等，所以对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆，故③正确；④曲线C:y=-x2+2x-1(x>0)上每一点实施变换诟，对应点的轨迹是C1：x=-y2+2y-l(x>0),则曲线C与曲线C]关于y=x对称，设与y=X平行且分別与曲线C与曲线C]相切的直线方程分别为y=x+m-^y=x+n,根据判别式为零对得 与y=x平行且分別与曲线C与曲线5相切是直线方程为y=x-3和y=x+-,343333厂|MN|的最小值就是直线y=x—与丫=x+-的距离为443伍44—=・Q24所以，故④正确，故答案为①③④.【点睛】本题考查椭圆与抛物线的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出儿个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法,实现信息的迁移，达到灵活解题的目的•遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.三、解答题:本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7.已知椭圆C：3x2+y2=12，直线x-y-2=0交椭圆C于AB两点.(1)求椭圆C的焦点坐标及长轴长；(2)求以线段AB为直径的圆的方程.]39【答案】(1)见解析；(2)(X—)2+(y+-)2=-222【解析】试题分析：(I)将椭圆方程变形为标准方程，即可知,,b啲值，根据a2=b2+c2Wc2,即可求出焦点坐标及长轴长。(II)将直线和椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程，可求出两根，即为两交点的横坐标，分别代入直线方程可得交点的纵坐标。用中点坐标公式可求屮点即圆心的坐标，再用两点间距离公式可求半径。22试题解析：解：(I)原方程等价于-+^=1.412由方程可知:a2=12>b2=4,c2=a2-b2=8，c=2&.3分所以椭圆C的焦点坐标为(0,2向，(0-2^2),长轴长2a为4$.5分(II)由严2+£=卩可W：x2-x-2=0.(x-y-2=0.解得：x=2^x=-l.所以点A,B的坐标分别为(2,0),(-1,-3).7分13.所以A,B中点坐标为|AB=J(2++(0+3『=3&.9分 所以以线段AB为直径的圆的圆心坐标为半径为型.222139所以以线段AB为直径的圆的方程为(x-)2+(y+-)2=-.11分考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的相交弦问题；3、求圆的方程。22227.已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线「乞=1的离心率2mm-15me(1,2),若p,q只有一个为真，求实数m的取值范围.【答案】-0,再由ee(1,2)确定m的取值范围；由p,q有且只有一个为真，得p,q—真一假，分别求对应方程组的解，可得m的取值范围.2222试题解析：将方程二_上—改写为2L+亠=i，2mm-12m1-m只有当l-m>2m>0BPO0,且lv<4,解得0b>0）的离心率e亠,"b=3.犷2⑴求椭圆C的方程; (2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,般的斜率为m.证明：2m—k为定值./1【答案】(1)一+y2=1;(2)-2'2【解析】【分析】22斤(1)由椭圆宁芦心＞。)的离心率严尹宀,结合性质,,列出关于3、b、c的方程组，求出a、b即可得结果；(2)设直线EP的方程为y=k(x-2),与椭圆方程联立可得P点坐标，直线AD的方程y=^x+l^y=k(x.2)联立，可得M点坐标，由三点共线可得N点坐标，利用斜率公式变形后即可得结果.【详解】(1)解因为e=^=；,2a21代入a+b=3得，c=Q5,a=2,b=l.2故椭圆C的方程为？+y2=l.4(2)证明因为B(2,0)，点P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为y=k(x—2)(kHO,kH±*),①①代入午+『=1,解得张占4k)4k2+l/直线AD的方程为y=*x+l・②①与②联立解得r4kA2k-l/由D(0,1),N(x,O)三点共线知4F+1741^8k2-2x—0'解得*2k+l'^+T-°所以MN的斜率为4k2k-l4k+24k-22k-12k+l _4k(2k+l)_2k+l—2(2k+l)'—2(2k—l)2—4°则2m_k=2k：l_k=*(定值).【点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标的准方程、圆锥曲线的定值问题以及三点共线问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程川消去变呈，从而得到定值.