随机过程第9-10讲new

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1、中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞第二章Markov过程9．应用问题（一）几种重要的纯不连续马氏过程（1）Poission过程（专门讲解）（2）纯增殖过程（人口问题）纯增殖过程的转移概率为：λ(t)∆t+ο(∆t),k=n+1nP{X(t+∆t)=kX(t)=n}=ο(∆t),k≠n,n+1,k>n1−λ(t)∆t+ο(∆t),k=nn即在纯不连续增殖过程中，如果在[0,t)内出现n个个体X(t)=n的条件下，在[t,t+∆t)内出现一个新个体的概率为λ(t)∆t+ο(∆t)，出现二个或二个以上

2、新n个体的概率为ο(∆t)，没有出现新个体的概率为1−λ(t)∆t+ο(∆t)。n纯增殖过程的状态空间为S={0,1,2,L}，表示群体某时所拥有的个体数目。关心的问题是：在t时刻，系统具有n个个体的概率是多少，即要求：P{X(t)=n}=p(t)=?n∈Sn假定初始（t=0）时系统有m个个体，m∈S，即P{X(0)=m}=p(0)=1，m并假定λ(t)=λ（与t无关），我们来求p(t)=P{X(t)=n}。nnn我们注意到：在[0,t+∆t)内出现n(n>m)个个体可以等价于下列不相容的情况之和：（a）在[0,t)内出现n个个

3、体，在[t,t+∆t)内出现0个个体；（b）在[0,t)内出现n−1个个体，在[t,t+∆t)内出现1个个体；（c）在[0,t)内出现n−2个个体或n−2个体以下，在[t,t+∆t)内出现2个个体或2个个体以上，因此有：p(t+∆t)=p(t)p(∆t)+p(t)p(∆t)+ο(∆t)nn0n−11=p(t)[1−λ∆t]+p(t)λ∆t+ο(∆t)(n>m)nnn−1n−1中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞因此有：dp(t)n=−λp(t)+λp(t)n>mnnn−1n−1dt同理，有：p(t+∆t)=

4、p(t)[1−λ∆t]+ο(∆t)(m=0)000p(t+∆t)=p(t)[1−λ∆t]+ο(∆t)(m≠0)mmm即有：dp(t)0=−λp(t),m=000dtdp(t)m=−λp(t),m≠0mmdt用Laplace变换解此微分方程可得：ne−λ1tn−mpn(t)=(−1)λmLλn−1∑ni=m∏(λ−λ)ijj=m,j≠i（3）生灭过程定义：纯不连续马氏过程{X(t),t≥0}如果满足：（a）过程中状态转移仅限于从一个状态向其邻近状态转移；（b）若X(t)=n，则在[t,t+∆t)内产生由n状态转移到(

5、n+1)状态的概率为：λ(t)∆t+ο(∆t)；产生由n状态转移到(n−1)状态的概率为：nµ(t)∆t+ο(∆t)；n（c）若X(t)=n，则在[t,t+∆t)内转移二个或二个以上状态的概率为ο(∆t)。则称此纯不连续马氏过程{X(t),t≥0}为生灭过程。状态空间为S={0,1,2,L}由定义，可得生灭过程的Q（生灭矩阵）矩阵为：中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞−λ0λ00000LLµ1−(λ1+µ1)λ1000LL0µ−(λ+µ)λ00LL2222Q=MOOOO0L0µ

6、−(λ+µ)λ0LnnnnMMM0OOOL00LLLOOO在条件λ>0,i≥0，µ>0,i≥1，（µ=0）下，有：ii0i−1↔i↔i+1(i≥1)因此，可知对∀i,j∈S，有i↔j，从而这样的生灭过程是不可约的。由生灭矩阵可以写出K－F前进方程：dp(t)00=−λp(t)+µp(t)000101dtdp(t)0n=λp(t)−(λ+µ)p(t)+µp(t)n≥1n−10n−1nn0nn+10n+1dt(A)dp(t)i0=−λp(t)+µp(t)0i01i1dtdp(t)in=λp(t)

7、−(λ+µ)p(t)+µp(t)n≥1n−1in−1nninn+1in+1dtFokker-Planck方程：/p(t)=−λp(t)+µp(t)00011p′(t)=λp(t)−(λ+µ)p(t)+µpjj−1j−1jjjj+1j+1其中i=0,1,2,L,j=1,2,L。以上的λ,µ（n=0,1,2,L）均可以是t的nn函数。如果{X(t),t≥0}的极限分布存在，即p=limp(t)，且与i无关，则有jijt→∞p′(t)=0(t→∞)，因此在Fokker-Planck方程中令t→∞，有：j−λp+µp=000

8、11λp−(λ+µ)p+µp=0j≥1j−1j−1jjjj+1j+1解以上代数方程组得：中科院研究生院2006～2007第一学期随机过程讲稿孙应飞λλλλλLλp=0p,p=01p,,p=01k−1pL1020k0µµµµµLµ11212k利用：∑p=1，我