随机过程第1章new

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1、第1章预备知识与随机过程基本概念1.1概率论补充知识1.1.1概率空间在概率论中，称随机试验（以下简称试验）的每一可能结果为样本点，记为ω，称样本点的全体为样本空间，记为Ω．一般而言，事件A是样本空间Ω的子集，即A⊂Ω．说事件A在一次试验中发生，当且仅当A中的一个样本点在该次试验中出现．所谓概率就是对A发生的可能性大小的度量．由于并不是在所有的Ω的子集上都能方便地定义概率，因而只限于在满足一定条件下的集类上，来研究概率及其性质．为此引进如下的事件域概念．定义1.1.1设F是以样本空间Ω的一些子集为元素

2、的集合（谓之集类），若它满足条件(1)Ω∈F；(2)若，AB,∈−FF则AB∈；∞(3)若，Annn∈=FF(1,2,)"则∪A∈;n=1则称F为事件域，称F中的元素为事件，并且称Ω为必然事件，∅为不可能事件．不难验证，事件域F对可列次交、并、差等运算封闭，即，F中的任何元素经可列次运算后仍属于F．事件域F又称作σ-代数或σ-域．定义1.1.2设Ω为样本空间，F为Ω上的事件域，P(·)是一个定义在F上的集函数，若它满足下列条件(1)非负性∀∈APF,()0A≥；(2)规范性P(Ω)=1；(3)可列可加

3、性当且有Ai∈=F(1,2,)",AAi=∅,∀≠j,iij∞∞⎛⎞PA⎜⎟∑∑ii=P(),A⎝⎠ii==11则称P(·)是F上的概率测度，称(Ω，F，P)为概率空间，对A∈F，称P(A)是事件A的概率．在本科概率论中，通常都认为概率空间(Ω，F，P)是预先给定的，在此基础上，来展开对各种概率问题的讨论．实际上，构造概率空间要视具体问题而定，并无统一模式．一般而言，构造概率空间是一项理论性较强且有一定难度的工作．例1.1.3设某试验的样本空间Ω为有限集：Ω={ω1，ω2，…，ωn}．取事件域F为Ω的

4、n所有子集的全体（共含2个元）．在F上按如下方式给出概率测度：先取定一组实数p1，p2，…，npn，要求pkkk>=0,1,2,",np且∑=1，令k=1P(),ω==pk1,2,,,"nkkPA()==∈∑∑P()ωkkpA,F,ωkk∈∈AωA易知P(·)是F上的概率测度，因而(Ω，F，P)为概率空间．注(1)在上例中，对每一样本点ωk赋予正实数pk(P(ωk)=pk)是问题的要点，但究竟应取怎样的p1，p2，…，pn，这要由试验的具体情况来定．例如，如果认为每一样本点ωk的出现机会均等，那么可取

5、1p==,1kn,2,",,kn此时1P(),ω==kn1,2,,,"knmPA()=∈,AF,n其中m是事件A所含的样本点的个数．如此构造的(Ω，F，P)即为古典概型问题的概率空间．(2)上例构造概率空间的方法可以推广到Ω为可列集：Ω={ω1，ω2，…}的这种场合．(3)在以后的讨论中，如无特别需要，均认为概率空间(Ω，F，P)是预先给定的．延伸阅读如果试验E的样本空间Ω为不可列集，那么通常要用测度论的方法才能构造出相应的概率空间(Ω，F，P)．请看下面的例子．11例1.1.4设某试验的样本空间为Ω

6、=(0,1)，取事件域F为(0,1)∩B,其中B是一维1Borel域（参见附录中关于Borel域的描述），称F为B在集(0,1)上的限制．另外，F也等于由半环C=≤{(,]:0abab<<1}生成的σ-代数，即F=σ(C)．在样本空间Ω上引入了事件域F之后，再来构造F上的概率测度．为此，取定一个非负可积函数f(·)，它在(0,1)1x以外的地方恒为0且∫fxx()d1=．令F()xf=∫()dtt，易知F(·)是单调非降连续函数．在0−∞半环C上定义如下的集函数PabFbFa((,])=−∀∈()()

7、,(,]abC.由测度扩张定理，P可扩张为σ(C)上的概率测度，至此，本例的概率空间(Ω，F，P)构造完毕．注在本例中，如果认为每个样本点ω的出现机会均等，那么可取f(·)为常值，易知，f(x)=1，0

8、F1={φ，Ω}；而有时又可引入最大的事件域F2={Ω的一切子集}；一般情况下引入的事件域介于两者之间．例如，取Ω的非空真子集A，令F=∅{AA,,,Ω}，则F是事件域且FFF⊂⊂（留12给读者验证）．通常称（Ω，F）为可测空间，称F中的元A为可测集．对可测空间（Ω，F）装备测度μ，就构成测度空间（Ω，F，μ）．如果所装备的测度还满足μ(Ω)=1，那么称（Ω，F，μ）为概率测度空间，简称概率空间．按概率论的记法，以P替换μ，记作概率空间（Ω，F，P）．对