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《2004-2末 高数试卷(180a)解答new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2004级第二学期《高等数学》期终考试参考答案180学时一.选择题：（A卷）(1).B;(2).C;(3).B;(4).D;(5).D.dd3π2x2二.填空题：（A卷）)1(6π)2(;)3(;−x+ey=C)4(;−)5(;3−j+2k.2y三.(本题8分)设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和y−xe=1所确定2dz的函数，其中f具有二阶连续导数，f′)1(=1，求.2dxx=0yyy（A卷）解：由等式y−xe=1知：y=1，…y′−e−xey′=0⇒y′=e..x=0x=0又由等式z=xf(x+y)
2、得：z′=f(x+y)+fx′(x+y)(1+y′),2z′′=2f′(x+y)(1+y′)+fx′′(x+y)(1+y′)+fx′(x+y)y′′故z′′=2f′1()(1+)e=1(2+e).…x=0四.(本题共18分，每小题9分)(x+yd)y+(x−yd)x1.计算，其中C为：∫22x+yC22(1)圆周(x−)2+(y−)1=1（顺时针方向）；22(2)星形线x3+y3=1（顺时针方向）.22∂Py−x−2xy∂Q解：因为==,∀(x,y)≠)0,0(，…222∂y(x+y)∂x22(x+yd)y+(x−yd)x(
3、1))0,0(∉{(x,y(
4、)x−)2+(y−)1≤1},…..⇒=.0∫22x+yC3/23/222(2))0,0(∈{(x,y
5、)x+y<1}，取C:x+y=1（顺时针方向）1(x+yd)y+(x−yd)x⇒=(x+yd)y+(x−yd)x=−1(+d)1xdy=−2π.∫22∫∫∫Cx+yC1x2+y2≤1221+yf(xy)x(yf(xy)−)12.计算dx+dy，其中L为由点(0,1)出发到点(1,2)的任∫2yyL何一条不与x轴相交的分段光滑曲线，f是连续可微函数，且满足f′(x)=f(x)及f)0(=1.23
6、∂Pyf(xy)+xyf′(xy)−1∂Q解：因为==,∀y≠0，2∂yy∂x所以，在上半平面(y>)0上的曲线积分与路径无关，..现取积分路径为由点A(0,1)经点B(1,1)至点C(1,2)的折线段，212yf(y)−1原积分=1[+f(x)]dx+dy...∫0∫1y212121=1+∫0f(xd)x+∫1f(yd)y−=∫0f(xd)x+.…...22x又由f′(x)=f(x),f)0(=1可得f(x)=e，…...2x121于是，原积分=∫edx+=e−....022五.(本题共18分，第1小题8分，第2小题10分
7、)2221.计算曲面积分：∫∫xzdS，其中S为圆柱面x+y=1介于z=0与z=2之间S的部分.2(A卷)解：记S:{(x,y,z
8、)y=1−x,−1≤x≤0,1≤z≤}2为S的右半部分，1相应的投影区域D:{(z,x0
9、)≤z≤,2−1≤x≤}1，...zx221dS=1+(y)+(y)dzdx=dzdx，….zx21−x222xz由对称性，∫∫xzdS=2∫∫xzdS=2∫∫dzdx...2SS1Dzx1−x22π21x1x21π=2∫zdz∫dx=8dx=82sintdt=8××=2π0−12∫02∫0221−x1−x
10、22.计算曲面积分：∫∫6(y+)1xdydz+1(−yd)zdx−4yzdxdy，其中S是由曲线S⎧⎪z=y−,1⎨1(≤y≤)3绕y轴旋转一周而成的曲面，取左侧.⎪⎩x=02222(A卷)解：旋转曲面S:{(x,y,z
11、)y−1=z+x,z+x≤}2，左侧，..22添平面S:{(x,y,z
12、)y=,3z+x≤}2，取右侧1记Ω为由S与S1所围成的空间有界区域，则2∫∫6(y+)1xdydz+1(−yd)zdx−4yzdxdy=∫∫−∫∫….SS+S1S13=∫∫∫[(6y+)1−2y−4yd]xdydz−∫∫(−d)8z
13、dx=∫1π(y−d)1y+16π=18π22Ωz+x≤22π23(=dθrdrdy+16π=18π).∫∫∫001+r2∞n+1nx六.(本题10分)求幂级数∑(−)1的收敛域与和函数S(x).n+1n=1n(n+)1⋅3n+2an(n+1)(n+3)2解：收敛半径R=lim=lim=3，n→∞an→∞n(n+3)1n+1n+1又幂级数在x=±3时均收敛，因此收敛域为[−]3,3∞n∞nxnyn+1y令y=，则S′(y)=∑(−)1=−∑(−)1=−ln(1+y)，..3n=1nn=1nyyS(…y)=S)0(+∫S′(t
14、d)t=−∫ln(1+td)t00=−yln(1+y)+y−ln(1+y)=y−1(+y)ln(1+y),y∈(−]1,1…..x⎛x⎞⎛x⎞=−⎜1+⎟ln⎜1+⎟,x∈(−3,3].3⎝3⎠⎝3⎠∞n+1⎧x⎛x⎞⎛x⎞nx⎪−⎜1+⎟ln⎜1+⎟,x∈(−]3,3⇒∑(−)1n+1=
