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1、随机过程的数字特征虽然有限维分布函数族能够比较完整的描述随机过程的统计特征,但是在实际中很难得到.思考：还可以用什么工具表征随机过程的一些特点？随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林下面介绍数字特征，内容包括：¾随机过程的数字特征¾两个随机过程的数字特征¾复随机过程的数字特征随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程的数字特征1.均值函数设X={X,t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若tE[X]存在,t则称E[X]为随机过程X的均值函数，记为m(t)，tX即m(t)=E[X]，t∈TXt随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林2
2、.方差函数设X={X,t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若tD[X]=E[X-m(t)]2存在,ttX则称D[X]为随机过程X的方差函数，记D(t).即tXD(t)=E[X-m(t)]2，t∈TXtX随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林3.协方差函数设X={X,t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈T,t若Cov(X,X)=E[X-m(s)][X-m(t)]存在,stsXtX则称Cov(X,X)为随机过程X的协方差函数.记C(s,t).stX即C(s,t)=E[X-m(s)][X-m(t)]s,t∈TXsXtX随机过程——西安电子
3、科技大学数学系冯海林4.相关函数设X={X,t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈T,t若E[XX]存在,st则称E[XX]为随机过程Xt的相关函数.(自相关函数)st记R(s,t).即XR(s,t)=E[XX]s,t∈TXst显然m(t)=0时,C(s,t)=R(s,t)XXX随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林5.均方值函数设X={X,t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若tE[X]2存在t则称E[X]2为随机过程X的均方值函数，记为Φ(t).即tXΦ(t)=E[X]2t∈TXt随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林随机过程的
4、数字特征有如下关系C(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t)s,t∈TXXXXD(t)=C(t,t)t∈TXXΦ(t)=R(t,t)t∈TXX最关键的数字特征是均值函数与相关函数随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林数字特征练习1.设S.P.X=acos(ωt+Θ).a,ω常数,Θ~U[0,2π]t求该过程的均值函数,相关函数,方差函数.解mtX()=E[Xt]2π1=⋅∫atcos(ω+θθ)d02π=−0∞5、6、t)2+E[Bs]sinωωsint2=σωcos(ts−−)∞7、,t)=R(s,t)-m(s)m(t)XYXYXY随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林定义设{X,t∈T},{Y,t∈T}是二个S.P.若ttC(s,t)=0XY或R(s,t)=m(s)m(t)s,t∈T,X,YXY则称S.P{X,t∈T},与S.P{Y,t∈T}不相关.tt随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林复随机过程的数字特征定义设{Z,t∈T}是复S.P.对任意t∈T,称tm(t)=E[Z]Zt为复S.P.的均值函数称D(t)=D[Z]Zt=E
8、Z-m(t)
9、2tZ为复S.P.的方差函数随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林称
10、Φ(t)=E
11、Z
12、2Zt为复S.P.的均方值函数.对任意的s,t∈T,称R(s,t)=E[ZZ]Zst为复S.P.的相关函数.称C(s,t)=cov(Z，Z)Xst
