清华大学《信号与系统》第十五讲

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1、信号与系统信号与系统第十五讲第十五讲清华大学电子工程系清华大学电子工程系20052005年春季学期年春季学期第六章信号的矢量空间分析§6.3信号的正交函数分解信号分解的目的(1)将任意信号分解为单元信号之和，考察信号的特性。(2)简化系统分析与运算，总响应=单元响应之和。nn⎡⎤rtHet()==⎡⎤⎣⎦()H⎢⎥∑∑etii()=rt()⎣⎦ii==002清华大学电子工程系陆建华§6.3信号的正交函数分解h一．正交矢量xhh用矢量表示矢量yxhhhhhvhx=+cyv11v1v2hh=+cyv22hhθhhhh=+cyvcy1cycy2yhhhhvy⊥cy=⋅xcosθ22hhx,y

2、hhc=hh矢量x和y互相接近的程度yy,ohhθ=90,c=0矢量x和y正交3清华大学电子工程系陆建华§6.3信号的正交函数分解二．正交函数在区间()ttt12<<内，用信号ft2()表示信号ft1()：f()tcft≈()1122221t22误差ε==fe()tf∫⎡⎤⎣⎦11()t−c2f2()tdttt−t1212dε2令=0，则误差ε最小dc12t2ftftt()⋅()d∫t12f(),()tft112c==12t2ftt2()df(),()tft22∫2t14清华大学电子工程系陆建华§6.3信号的正交函数分解若，cf=0(则称t),f(t)为正交函数1212三．正交函数集若

3、gtgtgt12(),()?r()相互正交：t2⎧0,ij≠gtgtt()⋅()d=≤⎨1,ijr≤∫ijt1⎩Kij,=i则构gtgtgt12(),()?r()成正交函数集5清华大学电子工程系陆建华§6.3信号的正交函数分解四.复变函数的正交特性若复变函数集{gtrr()}(=1,2,?,n)满足t2⎧Kiji=*gtgtt()()d=⎨∫tij则为正交函数集1⎩0ij≠•对一般信号在给定区间正交而在其它区间不一定满足正交•两个信号不正交，就有相关关系6清华大学电子工程系陆建华第六章信号的矢量空间分析§6.4完备正交函数集帕塞瓦尔定理完备正交函数集n任意()ftc="∑rrg()t{

4、gtr()}为正交集r=1n221⎡t22ε=−⎢∫ftd()t∑cKrr]tt21−⎣t1r=12若limε=0，则称{}gtr()是完备正交函数集n→∞7清华大学电子工程系陆建华§6.4完备正交函数集、帕塞瓦尔定理在正交集{gti()}之外再没有一有限能量的xt()满足：t2x(t)g(t)dt=0∫it1帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理∞若则ft()=∑cgtrr(),r=1tt22∞∞222∫∫f()ttd(==∑∑cKrr[]cgttrr)dttrr==1111一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。8清华大学电子工程系陆建华§6.6相关§6

5、.6相关能量信号功率信号TT00122Pf=22()dttEf=lim∫−T0()dttlimT∫−T0T0→∞2T0→∞02相关系数相关系数ftft12(),()f12(),()tftρ==121⎡⎤ftftftft(),()(),()2f()tf()t1222⎣⎦1122相关函数相关函数研究两信号在时移过程中的相关性9清华大学电子工程系陆建华§6.6相关①f1(t)与f2(t)是能量有限信号，f1(t)与f2(t)为实函数相关函数：∞∞Rf()ττ=−()(tft)dt=+f()(tτftt)d12∫−∞12∫−∞12RR()τ=()−τ1221∞∞自相关函数：Rf()ττ=−∫(

6、)(tft)dt=+∫f()(tfτtt)d−∞−∞②f1(t)与f2(t)是能量有限信号，f1(t)与f2(t)为复函数∞∞***R12()ττ=−∫ftft1()(2)dt=+∫f12()(tfτtt)dRR12()τ=21()−τ−∞−∞10清华大学电子工程系陆建华§6.6相关③f1(t)与f2(t)是功率有限信号，f1(t)与f2(t)为实函数T⎡1⎤相关函数：R()lim=−⎢2ftft()()dt⎥ττ12∫T12T→∞T−⎣2⎦T⎡1⎤Rf()lim2()(tft)dt自相关函数：ττ=−⎢⎥∫TT→∞T−⎣2⎦④f1(t)与f2(t)是功率有限信号，f1(t)与f2(t

7、)为复函数T⎡1⎤2*R()limττ=−⎢ftft()()dt⎥∫TT→∞T−⎣2⎦11清华大学电子工程系陆建华§6.6相关相关定理F[xt()]=X()ω*F⎡⎤RX()τ=⋅()()ωωY⎣⎦xyF[]yt()=Y()ω*若y(t)为实偶函数YY()ω=()ω则相关定理等同于卷积定理：∞⎡⎤**Fxtyt()(−=τ)dτωX()()Yω=XY()()ωω⎢⎥⎣⎦∫−∞12清华大学电子工程系陆建华§6.6相关相关与卷积的比较∞f()tft