25.2用列表法或画树形图求概率

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2016年龙华中学197班新授课专用§25.2用列举法求概率主讲：张应高 有些事件我们事先无法肯定它会不会发生，这些事件称为随机事件（不确定事件）。一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个事件发生的概率也几率或然率．1.生活中三事件：必然事件：生活中，有些事件我们事先肯定它一定会发生，这些事件称为必然事件；不可能事件：有些事情我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件；确定的事件：必然事件与不可能事件都是确定的事件。随机事件（不确定事件）：2.可能性与概率的关系温故而知新一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=． 3.等可能性事件的两个特征：①.出现的结果有限多个;②.各结果发生的可能性相等；等可能性事件的概率可以用列举法而求得。列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法．知识点一：列举法例题分析： 例1如图是计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷.小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况.我们把与标号3的方格相临的方格记为A区域(画线部分)，A区域外的部分为B区域.数字3表示在A区域中有3颗地雷.那么第二步应该踩在A区域还是B区域？分析：第二步应该怎样走取决于踩在哪部分遇到地雷的概率小，只要分别计算在两区域的任一方格内踩中地雷的概率并加以比较就可以了.解：(1)A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各藏有1颗地雷.因此，踩A区域的任一方格，遇到地雷的概率为P(A区域)=(2)B区域中共有9×9-9=72个小方格，其中有10-3=7个方格内各藏有1颗地雷.因此，踩B区域的任一方格，遇到地雷的概率为P(B区域)=所以踩A区域遇到地雷的可能性大于踩B区域遇到地雷的可能性，因而第二步应该踩B区域. 例2掷两枚硬币，求下列事件的概率：(1)两枚硬币全部正面朝上；(2)两枚硬币全部反面朝上；(3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.分析：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，它们是：正正正反反正反反(1)所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上(记为事件A)的结果只有一个，即“正正”，所以解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列举出来，它们是：正正、正反、反正、反反，结果共有4个，并且这4个结果出现的可能性相等.P(A)=(2)满足两枚硬币全部反面朝上(记为事件B)的结果也只有1个，即“反反”，所以P(B)=(3)满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上(记为事件C)的结果共有2个，即“反正”“正反”，所以P(C)= 练习：1、回顾例1，如果小王在游戏开始时踩中的第一个格子上出现了标号1，下一步踩在哪一区域比较安全？ (2)所有的结果中，满足两次都摸到相同颜色的小球(记为事件B)的结果有二个，即“红红”“绿绿”，所以(3)所有的结果中，满足两次摸到的球中有一个绿球和一个红球(记为事件C)的结果有二个，即“红绿”，“绿红”，所以2、袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其它差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个.求下列事件的概率：(1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球.(2)两次都摸到相同颜色的小球.(3)两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.解：我们把两次摸球所能产生的结果全部列举出来，它们是:红红，红绿，绿红，绿绿.结果共有4个，并且这4个结果出现的可能性相等.(1)所有的结果中，满足第一次摸到红球，第二次摸到绿球(记为事件A)的结果只有一个，即“红绿”，所以练习：P(A)=P(B)=P(C)= 3.游戏者同时转动两个转盘进行“配紫色”游戏，求游戏者获胜的概率.(在绘画过程中，红色颜料与蓝色颜料混合就能配出紫色的颜料)红白黄蓝绿解：转动两个转盘所能产生的结果全部列出来，它们是：红黄，红蓝，红绿，白黄，白蓝，白绿.所有的结果共有6种，并且这6种结果出现的可能性相等.其中“配成紫色”是1种，因此P(紫色)=练习： 解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，其中A1和A2是一双，B1和B2是一双，那么有12种可能的结果，分别为A1A2、A1B1、A1B2、A2A1、A2B1、A2B2、B1A1、B1A2、B1B2、B2A1、B2A2、B2B1.并且这12个结果出现的可能相等.4.小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？练习：小明穿上同一双袜子有4种情况，分别为A1A2、A2A1、B1B2、B2B1.因此，小明正好穿相同一双袜子的概率为.是不是发觉用上面这种列举法容易找不全，那有没有一种方法又直观，又能全部列出来？ 1.当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.知识点二：列表法2.具体步骤：选其中的一次操作或一个条件为横行，另一次操作或另一个条件为竖列，列出表格计算概率。例题分析： 4.小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，其中A1和A2是一双，B1和B2是一双，则列表为：第一只第二只A1A2B1B2A1A2B1B2（A2，A1）（B1，A1）（B2，A1）（A1，A2）（B1，A2）（B2，A2）（A1，B1）（A2，B1）（B2，B1）（A1，B2）（A2，B2）（B1，B2）由列表得总的有12种可能的结果，并且这12个结果出现的可能相等.小明穿上同一双袜子有4种情况，分别为A1A2、A2A1、B1B2、B2B1.因此，小明正好穿相同一双袜子的概率为. 1.如图，两个转盘一个分成黑白相等的两部分，另一个被分成黑白紫相等的三部分.甲乙两人用它们做游戏，如果两个指针所停区域的颜色不同，则乙获胜，如果两个指针所停区域的颜色相同，则甲获胜，你认为这个游戏对双方公平吗？练习：解：列表为：转盘1转盘2白黑白黑红（白，白）（黑，白）（白，黑）（黑，黑）（白，红）（黑，红）由列表得总的有6种可能的结果，并且这6个结果出现的可能相等.则乙获胜的概率为：，甲获胜的概率为：.所以这个游戏对双方不公平. 2.一个密码保险柜的密码由6个数字组成，每个数字都是0至9这十个数字中的一个，王大爷忘记了其中最后的两个数字，那么请问他一次就能打开保险柜的概率是多少？练习：00，01，02，03，04，05，06，07，08，0910，11，12，13，14，15，16，17，18，1920，21，22，23，24，25，26，27，28，2930，31，32，33，34，35，36，37，38，39………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………90，91，92，93，94，95，96，97，98，99解：列表为：由列表得总的有100种可能的结果，并且这100个结果出现的可能相等，但要打开保险柜只有一种情况，所以打开保险柜的概率是： 3.同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9；(3)至少有一个骰子的点数为2.由上表可以看出，同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.(1)满足两个骰子点数相同(记为事件A)的结果有6个，所以P(A)=123456123456(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(2)满足两个骰子点数和是9(记为事件B)的结果有4个，所以P(B)=(3)满足至少有一个骰子的点数为2(记为事件C)的结果有11个，所以P(C)=解：列表为：练习： 如果把例3中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得的结果有变化吗？ 例4甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从3个口袋中各随机地取出1个小球.例题分析：(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析：当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.你能用列表法求吗？ 例4甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从3个口袋中各随机地取出1个小球.例题分析：(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？解：根据题意，我们可以画出如下的“树形图”.开始ABCDECDEHIHIHIHIHIHI(A,C,H)(A,C,I)(A,D,H)(A,E,H)(A,D,I)(A,E,I)(B,C,H)(B,C,I)(B,D,H)(B,D,I)(B,E,H)(B,E,I)从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有12种,这些结果出现的可能性相等.(1)只有一个元音字母的结果有5个，所以P(一个元音)=有两个元音字母的结果有4个，所以P(两个元音)=全部为元音字母的结果只有1个，所以P(三个元音)=(2)全是辅音字母的结果有2个，所以P(三个辅音)= 练习：1.将一个均匀的硬币上抛三次，结果为三个正面的概率为多少？解：画树形图为：总共有8种结果，每种结果出现的可能性相同，而三次正面朝上的结果有1种，因此三次正面朝上的概率为。开始正反正反正反正反正反正反正反（正，正，正）（正，正，反）（正，反，正）（正，反，反）（反，正，反）（反，正，正）（反，反，正）（反，反，反） 2.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概率是是多少？开始红黄黄(红,黄)黄黄红黄红(黄,黄)(黄,红)(黄,黄)(黄,红)黄(红,黄)练习：解：画树形图为：总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次都摸到黄色球的结果有2种，因此三次正面朝上的概率为1/3。 练习：3.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?他们决定用“石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?石剪布石开始甲丙乙石石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布剪布石剪布石剪布剪布解:画树形图为：由树形图可以看出,游戏的结果有27种,它们出现的可能性相等.由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪”“剪剪布”“布布石”三类.而满足条件(记为事件A)的结果有9种∴P(A)=13=927 用下图所示的转盘进行“配紫色”游戏.小颖制作了下图，并据此求出游戏者获胜的概率为；120°红蓝红蓝开始红蓝红蓝红蓝(红，蓝)(红，红)(红，蓝)(红，红)对此你有何看法？小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是.蓝红1120°红2红蓝红色蓝色红色1红色2蓝色(红1，红)(红1，蓝)(红2，红)(红2，蓝)(蓝，红)(蓝，蓝)你同意小亮的做法吗？小颖的做法不正确.因为左边的转盘中红色部分和蓝色部分的面积不相同，因而指针落在这两个区域的可能性不同.小亮的做法是解决这类问题的一种常用方法. 用树形图和列表的方法求概率时应注意些什么?用树形图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同. 练习：1.猜一猜：小明和弟弟在玩猜点数的游戏，规则是这样的：将红桃A至红桃5、黑桃A至黑桃5两组扑克牌分别洗匀，每次从两种花色中各抽出一张，抽后并放回洗匀，在抽之前猜一个数，如果每次抽出的两张牌的点数之和与猜的数相同算对，否则算错，谁猜对的多算赢.小明每次说的数不是4就是5；弟弟每次说的数不是6就是7，那么谁赢的可能大呢？若你来猜会猜哪两个数？为什么？解：两次抽牌的牌面数字和，所有可能出现的结果如下：黑桃红桃123451234523456345674567856789678910因为牌面数字和为6的概率最大，而牌面数字和为5(7)紧跟其次，所以弟弟赢的可能性大.画树形图好画吗？ 想一想，什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”方便？利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.当试验包含两步时,特别是实验个体比较多时，列表法比较方便,当然,实验对象个体不太多时，此时也可以用树形图法;当试验在三步或三步以上时,只能用树形图法方便. 1.在6张卡片上分别写有1～6的整数.随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张.那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？练习：2.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同.三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：(1)三辆车全部继续直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转；(3)至少有两辆车向左转. 3.在体育器材室内有一暗箱，内放有2个排球，2个篮球，2个足球，让你连续拿两次，并且每次拿出球后记下结果再放回暗箱，问两次拿到足球的概率是多少？拿到排球和篮球的概率是多少？练习：解：列表如下：第二次第一次足球篮球排球篮球排球(足,足)(足,足)(足,足)(足,足)(篮,足)(篮,足)(篮,足)(篮,足)(排,足)(排,足)(排,足)(排,足)(足,篮)(足,篮)(足,篮)(足,篮)(篮,篮)(篮,篮)(篮,篮)(篮,篮)(排,篮)(排,篮)(排,篮)(排,篮)(足,排)(足,排)(足,排)(足,排)(篮,排)(篮,排)(篮,排)(篮,排)(排,排)(排,排)(排,排)(排,排)足球足球足球篮球篮球排球排球观察上表，两次都拿到足球的概率为1/9；拿到排球和篮球的概率为2/9. 1.（2012，云南）现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1，2，3．先将标有数字﹣2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随即取出一个小球．（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果；（2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．云南省市近几年来中考题精选2.（2011曲靖市，9分）在三张完全相同的卡片上分别标注：A“一雨水”、B“大地”、C“生机”，放入一个不透明的的口袋中，随机从中抽出一张放入“给带来”左边“”内；第二次抽出一张放入中间的“”内；第三次抽出一张放入右边的“”内（每次卡片抽出后不放回）。（1）试用树形图列出三次抽卡出现的所有可能的结果表明；（2）求其中恰好组成“雨水给大地带来生机”的概率。 3.（2011昆明市）小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆出获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？云南省市近几年来中考题精选 云南省市近几年来中考题精选5.（2011•保山）小华和小丽两人玩数字游戏，先由小丽心中任意想一个数字记为x，再由小华猜小丽刚才想的数字，把小华猜的数字记为y，且他们想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数中．（1）请用树状图或列表法表示了他们想和猜的所有情况；（2）如果他们想和猜的数相同，则称他们“心灵相通”．求他们“心灵相通”的概率；（3）如果他们想和猜的数字满足|x﹣y|≤1，则称他们“心有灵犀”．求他们“心有灵犀”的概率． 2012年中考题精选 2012年中考题精选5.（2012.梅州）为实施校园文化公园化战略，提升校园文化品位，在“回赠母校一颗树”活动中，我市某中学准备在校园内空地上种植桂花树、香樟树、柳树、木棉树，为了解学生喜爱的树种情况，随机调查了该校部分学生，并将调查结果整理后制成了如下统计图：请人根据统计图提供的信息，解答以下问题：（直接填写答案）（1）该中学一共随机调查了人；（2）条形统计图中的m=，n=；（3）如果在该学校随机抽查了一位学生，那么该学生喜爱的香樟树的概率是 6.（2012，珠海）某学校课程安排中，各班每天下午只安排三节课.（1）初一（1）班星期二下午安排了数学、英语、生物课各一节，通过画树状图求出把数学课安排在最后一节的概率；（2）星期三下午，初二（1）班安排了数学、物理、政治课各一节，初二（2）班安排了数学、语文、地理课各一节，此时两班这六节课的每一种课表排法出现的概率是.已知这两个班的数学课都有同一个老师担任，其他课由另外四位老师担任.求这两个班数学课不相冲突的概率（直接写结果）.7.（2012•广州）甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为﹣7，﹣1，3．乙袋中的三张卡片所标的数值为﹣2，1，6．先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标．（1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况．（2）求点A落在第三象限的概率．2012年中考题精选 2012年中考题精选 2012年中考题精选12.（2012，湛江）某校初三年级（1）班要举行一场毕业联欢会．规定每个同学分别转动下图中两个可以自由转动的均匀转盘A、B（转盘A被均匀分成三等份．每份分別标上1.2，3三个数字．转盘B被均匀分成二等份．每份分别标上4，5两个数字）．若两个转盘停止后指针所指区域的数字都为偶数（如果指针恰好指在分格线上．那么重转直到指针指向某一数字所在区域止）．则这个同学要表演唱歌节目．请求出这个同学表演唱歌节目的概率（要求用画树状图或列表方法求解） 13.（2012，荆门）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整)．请根据以上信息回答：(1)本次参加抽样调查的居民有多少人？(2)将两幅不完整的图补充完整；(3)若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．类型ADCB人数ADCB06012018024030040%10%2012年中考题精选 14.（2012，江西）如图,有大小、质地相同，仅颜色不同的两双拖鞋（分左、右脚）共四只，放置在地板上[可表示为(A1,A2),(B1,B2)].(1)若先从两只左脚拖鞋中取出一只,再从两只右脚拖鞋中随机取出一只,求恰好匹配相同颜色的一双拖鞋的概率;(2)其从这四只拖鞋中随机地取出两只,利用树形(状)图或表格列举出所有可能出现的结果,并求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率.2012年中考题精选 2012年中考题精选