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1、2007年第9期21竞赛之窗第48届IMO试题解答221.给定实数a1,a2,⋯,an.对每个i(1≤(4ab-1)
2、(4a-1).证明:a=b.(英 国 供题)i≤n),定义:6.设n是一个正整数.考虑di=max{aj
3、1≤j≤i}-min{aj
4、i≤j≤n},S={(x,y,z)
5、x、y、z∈{0,1,⋯,n},且令d=max{di
6、1≤i≤n}.x+y+z>0}(1)证明:对任意实数x1≤x2≤⋯≤这样一个三维空间中具有(n+1)3-1个点xn,有的集合.问:最少要多少个平面,它们的并集d才能包含S,但不含(0,0,0)?max{
7、xi-ai
8、
9、1≤i≤n}≥;①
10、2(荷 兰 供题)(2)证明:存在实数x1≤x2≤⋯≤xn,参考答案使得式①中的等号成立.(新西兰供题)2.设A、B、C、D、E五点中,四边形1.(1)设d=dg(1≤g≤n),并记ABCD是平行四边形,四边形BCED是圆内ap=max{aj
11、1≤j≤g},ar=min{aj
12、g≤j≤n}.接四边形.设l是通过点A的一条直线,l与则1≤p≤g≤r≤n,且d=ap-ar.线段DC交于点F(F是线段DC的内点),且对任意实数x1≤x2≤⋯≤xn,注意到l与直线BC交于点G.若EF=EG=EC,求(ap-xp)+(xr-ar)=(ap-ar)+(xr-xp)证:l是∠DAB的平
13、分线.(卢森堡 供题)≥ap-ar=d,3.在一次数学竞赛活动中,有一些参赛所以,ddap-xp≥或xr-ar≥.选手是朋友,朋友关系是相互的.如果一群参22赛选手中的任何两人都是朋友,就称这一群故max{
14、xi-ai
15、
16、1≤i≤n}选手为一个“团”(特别地,人数少于2的一群≥max{
17、xp-ap
18、,
19、xr-ar
20、}也是一个团).≥max{a-x,x-a}≥d.pprr2已知在这次竞赛中,最大的团(人数最多(2)解法1:定义序列{xk}如下:的团)的人数是一个偶数.证明:总能把参赛dd选手分配到两个教室,使得一个教室中的最x1=a1-2,xk=max{xk-1,ak-2}
21、(2≤k≤n).大团的人数等于另一个教室中的最大团的下面证明对这个序列式①取等号.人数.(俄罗斯 供题)由{xk}的定义知,{xk}是不减的,且xk-ak≥4.在△ABC中,∠BCA的平分线与△ABC-d,对所有1≤k≤n成立.2的外接圆交于点R,与边BC的垂直平分线下面我们证明:对所有1≤k≤n,有交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q.d设xk-ak≤.②K、L分别是边BC、AC的中点.证明:2△RPK和△RQL的面积相等.对任意1≤k≤n,设l(l≤k)是使得xk=xl的(捷 克 供题)最小下标,则要么l=1,要么l≥2且xl>xl-1.5.设a、b为正整数.已知在
22、这两种情况下都有22中等数学d故∠BAG=∠GAD.xk=xl=al-.③23.我们给出分配选手的一种算法.记这两间教又al-ak≤max{aj
23、1≤j≤k}-min{aj
24、k≤j≤n}=dk≤d,室分别为A、B.我们从某一个初始排列开始,靠每此时由式③可得次调整一人从一个教室到另一个教室作若干次修改ddd来达到目标.在这种算法的任何一步,A、B分别表xk-ak=al-ak-≤d-=.222示教室A、教室B中选手的集合,C(A)、C(B)分别这就是式②.从而,对所有1≤k≤n,有表示教室A、教室B中最大团的人数.-d≤x-a≤d.第一步:设M是所有参赛选手中的最大团,
25、M
26、
27、kk22=2m.d故max{
28、xi-ai
29、
30、1≤i≤n}≤.将M中的所有成员分配到教室A中,然后,把2另外的所有成员分配到教室B中.因为M是所有参再由(1)知{xk}确使式①取等号.赛选手中的最大团,所以,C(A)=
31、M
32、≥C(B).解法2:对每一个i(1≤i≤n),令第二步:只要C(A)>C(B),我们就从教室AMi=max{aj
33、1≤j≤i},mi=min{aj
34、i≤j≤n}.中派一人到教室B中.则Mi=max{a1,⋯,ai}≤max{a1,⋯,ai,ai+1}=Mi+1,注意到C(A)>C(B),这说明A非空.mi=min{ai,ai+1,⋯,an}≤min{a
35、i+1,⋯,an}=mi+1.在操作的每一步,C(A)减少1而C(B)至多增这说明序列{Mi}和{mi}都是不减的,且由它的加1,这样在操作结束时,一定有定义知mi≤ai≤Mi.C(A)≤C(B)≤C(A)+1.Mi+mi在操作结束时,也一定有C(A)=
36、A
37、≥m,否令xi=,由di=Mi-mi可得2则,M中的至少m+1个选手在教室B中,M中的dimi-MiMi-midi至多m-1个选手在教室A中,因此,-==xi-Mi≤xi-ai≤xi-mi==.2222C(B)-C(A)≥(m+1)-(m-1)=2,did不可能.故max
