2014年第55届IMO解答

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1、蕴秀斋2014年第55届IMO解答1、aaa...是一个无穷正整数数列，证明：存在唯一的正整数n，使得012aa...a01naa。nn1nnn1aa...a01n证明：aann10(1n)anaianan1ai，对于任意正整nii11n1aa...a01n数n，定义bnaann(1)i，则aann10bnabn1。i1n由于ba0，bbnaa0，因此数列b是严格递增的非负整数10nn11nnn数列，所以存在唯一的正整数n，满足bab。nn01综上所述，结论成立。(此题

2、全场平均5.348分，满分370/544人，中国队此题满分)上善若水蕴秀斋2、n是大于1的整数，有一个nn的棋盘。求最大的正整数k，使得在棋盘上任意放置n个不同行也不同列的车，都可以找到一个kk的正方形，其中没有车。22解：存在唯一的正整数m，使得mnm(1)。我们来证明：kmn1。㈠先来证明：km。2nm1时，由于四个角不能都有车，因此可以假设右下角没有车，此时最底下一行222和最右边一列都各有一个车，将棋盘左上角的mm的棋盘分为m个mm的棋盘，由2于除了最底下一行和最右边一列之外还有m1个车，因此必有一个mm的棋盘没有车，因此km。22若n

3、mrrm,12时结论成立，我们来考虑nmr1的情况，不失一般性可以假设右下角没有车，假设最右边一列的第x行和最底下一行的第y列都各有一个车，则我们可以去掉最底下一行和最右边一列，然后在第x行第y列放一个车，则得到222mrmr的棋盘，放了mr个不同行也不同列的车，由归纳假设可以从中找出一个mm的棋盘没有车，这个mm的棋盘在原棋盘也没有车，因此km。㈡我们来证明：km。222对于(1mm)(1)的棋盘，从上到下将每行编号为0,1,...,(m1)1，从左到右2将每列编号为0,1,...,(m1)1，并将行数、列数都用m1进制表示

4、为ij,0ij,m。在所有ijji,位置各放一个车，则每行、每列都恰好一个车。任取一个(1mm)(1)的小棋盘，我们来证明其中至少有一个车。设其左上角为uvst,，则小棋盘行数的首位只能是uu,1，末位为0,1,...,m的一个排列；列数首位只能是ss,1，末位为0,1,...,m的一个排列。不妨设小棋盘中没有车。①假设其中有第us行，则不能有su列，因此只能有(1su)列，故sm1，并且不能有us(1)行，只能有(1us)(1)行，(1usu)(1)sm，矛盾。②假设其中有第(1us)行，则不能有su(1)列，因此只能有(1su)(

5、1)列，故sm1，并且不能有(1us)(1)行，因此只能有us(1)行，所以不能有(1su)列，故只能有su列，而(1sus)(1)um，矛盾。2假设对于nmrrm,121时，有一种放法使得任意一个(1mm)(1)小棋上善若水蕴秀斋盘都至少有一个车。则对此放法去掉最底下一行和最右边一列，假设最右边一列的第x行和2最底下一行的第y列都各有一个车，如果xymr（也即右下角有车），则此时的棋2盘满足要求；如果x,ymr（也即右下角无车），则在第x行第y列放一个车，由于左22上角mr11mr的棋盘没变化或者加了车，因此其中任意一

6、个(1mm)(1)小棋盘都至少有一个车。所以km1。综上所述，kn1。(此题全场平均2.971分，满分122人，中国队此题满分)上善若水蕴秀斋3、凸四边形ABCD满足ABCCDA90，A在BD上的投影为H。ST,分别在ABAD,上，使得H在SCT的内部。已知CHSCSB90，THCDTC90，求证：BD与TSH的外接圆相切。JKc1Cc2HDBSTAMN证明：延长CB到M，延长CD到N，使得B,D分别是CMCN,的中点，因此S在CM的中垂线上，因此SMCSCM90CSB180CHS，因此CHSM,,,共圆，

7、记此圆为c，同理CHTN,,,共圆，记此圆为c。由于A是CMN的外心，因此12HMHN。设HTCN,交于J，设HSCM,交于K，由于S是MHC的中点，因此HK是CHMCJHCHCCK的外角平分线，同理HJ是CHN的外角平分线，因此，因此NJHNHMMKJKMNBD。由于NHTJHC，NTHJCH，所以NHTJHC，因此HTHJHCHN，同理可得HSHKHCHM，所以HTHJHSHK，因此JKTS,,,