第43届imo试题解答

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1、维普资讯http://www.cqvip.com中等数学●莞赛之穿◆第43届IMO试题解答1．设n为任意给定的正整数．71为平面上所有D=dld2+d2d3+⋯+dt—l．满足+Y

2、集合为一个一集；如果(x)+z))(Y)+t))n个蓝点纵坐标各不相同，则称这n个蓝点所组成=xy—zt)+埘+)．的集合为一个y-集．证明：-x一集的个数和y-集的个数6．设n≥3为整数，r。，，，⋯，rn为平面上一样多．半径为l的圆，圆心分别为0，0：，0，⋯，0．假设2．BC为圆r的直径．f的圆心为0，A为r上的任一直线至多和两个圆相交或相切，证明：一点，0o

3、是△CEF的内心．解。答3．找出所有的正整数对m、n≥3，使得存在无穷多个正整数o，有为整数．1．设红点个数为m，X一集合数目为t，Y一集合数ⅡtⅡ一■4．设n为大于1的整数．全部正因数为d。，d2，目为．对m，0≤m≤；，进行归纳证明．⋯，dt，其中l=dl

4、’‘—FaFb—ab将已知等式：∑c(s一。)(s一6)a／,c=4Rrs，bc：s+4Rr+r2，：(s∑a一2s∑6c+3)将已知等式7r(s一口)=srabc=4肌，∑bc：s+4Rr+r代人上式化简后即得式④．参考文献：代入上式化简即得式③．[1]王向东，苏化明，王方汉．不等式·理论·方法．郑州：河2FaFb：一=∑b南教育出版社。1994．。6一4(s一口)is一)维普资讯http://www.cqvip.com2OO2年第5期2l那即_立．么．．IFE=IFA一EFA(2)假设m：(0≤k<巫

5、)时命题成立=MF一ECA=MF一ICF=．=IFC，(3)对于m=+l，设点P(o，yo)是Ⅱ使口‰Yo即为EFC的平分线．故，是IX,CEY的内心．最大的红点之一．那么，将P改为蓝点．由于不存在=注：条件AOB<120~保证点，在△CEF的内其他红点(，Y)，≥o，)，≥Yo，因此，这仍然是一个部．Ⅱ满足条件的集合，记为．对它类似地定义t，s．3．假设(m，n)为所求，显然有n

6、)行上的蓝点纳有6，个．假一1．设实际上，由于g()为本原多项式及除法定理，有有lI加．Ⅱ峨=Ⅱ．其中deg(r())

7、域为故。b．[一l，1]，从而，在(0，1)中有惟一实根．又由于g()整除)，所以，它们有相同的根，并记为a．于是，(职峨)‘-1)=(职)(6yo-1)，(3)利用口，证明：m<2n．‘一』，0即t：s．故对m：+l时，命题也成立．易得口>，=0．618⋯为h()=+—l的正根．因为)在(0，1)单增，且因此，对一切0≤m≤命题成立．)<^()：0=a)．2．如图l。由题设A另一方面，若m≥2n，则为F的中点，于是，cAl一口=口≤(口)=(1一口)．为ECF的平分线．从而，(口一1)(a+a—1)≥O

8、，有a≤．矛盾。又由于OA=OC，(4)对m<2n，有惟一解(m，n)=(5，3)．假设有解，考虑n=2，并记LAOD：A叩d=g(2)=2+3．图1=OAC．由(1)得则OD∥从．一2l(ITl0dd)．丽,t17f10．令m=+，l≤<．则因此，M)OI为平行四边形一2E(d一2)2=-3×2(rn0dd)．又OFAF为菱形，有这表明，当l≤≤n一2时，一2事l(rI10dd)．M=OD=OE=,IF当=—l，即m：2n—