2015年考研数学二模拟试题1

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1、模拟考场（三）考生注意：（１）本试卷共２３大题，满分１５０分．（２）根据国家标准，试卷中的正切函数、余切函数、反正切函数、反余切函数分别用ｔａｎ狓、ｃｏｔ狓、ａｒｃｔａｎ狓和ａｒｃｃｏｔ狓表示．一、选择题（本题共８小题，每小题４分，满分３２分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）犪狓－ｌｎ（１＋狓）（１）已知狓＝０是函数狔＝的可去间断点，则常数犪，犫的取值范围是狓＋犫ｓｉｎ狓（Ａ）犪＝１，犫为任意实数．（Ｂ）犪≠１，犫为任意实数．（Ｃ）犫＝－１，犪为任意实数．（Ｄ）犫≠－１，犪为任意实数．【】（２）狔″＋

2、２狔′＋狔＝ｅ－狓＋１的特解具有形式（Ａ）犃ｅ－狓－狓＋犅．（Ｂ）犃狓ｅ＋犅．（Ｃ）犃狓２－狓－狓ｅ＋犅．（Ｄ）ｅ＋犅．【】１（３）设函数犳（狓）＝，则狓１－ｅ１－狓（Ａ）狓＝０为无穷间断点，狓＝１为跳跃间断点．（Ｂ）狓＝０为无穷间断点，狓＝１为可去间断点．（Ｃ）狓＝０为可去间断点，狓＝１为无穷间断点．（Ｄ）狓＝０为可去间断点，狓＝１为跳跃间断点．【】（４）设函数犳（狓）在点狓＝０的某邻域内具有连续的二阶导数，且犳″（０）＝犳′（０）＝０，则（Ａ）点狓＝０为犳（狓）的零点．（Ｂ）点狓＝０为犳（狓）的极值点．（Ｃ）当ｌｉｍ犳″（狓）＝１时，（０，犳（

3、０））为拐点．狓→０狘狓狘（Ｄ）当ｌｉｍ犳″（狓）＝１时，（０，犳（０））为拐点．【】狓→０ｓｉｎ狓２（５）设犳（狓）＝ｅ狓，犳〔（狓）〕＝１＋狓，且（狓）≥０，则（狓）在其定义域内是φφφ（Ａ）有界函数（Ｂ）周期函数（Ｃ）单调增加函数（Ｄ）单调减少函数【】１狓（６）设犳（狋）连续，则ｄ狓犳（狓－狔）ｄ狔＝∫０∫０１狔１（Ａ）ｄ狔犳（狓－狔）ｄ狓．（Ｂ）（１－狓）犳（狓）ｄ狓．∫０∫０∫０１３考研数学模拟考场１５套（数学二）１１１（Ｃ）ｄ狔犳（狓－狔）ｄ狓．（Ｄ）狓犳（狓）ｄ狓．【】∫０∫狔∫０（７）设犃为犿×狊矩阵，犅为狊×狀矩阵，要使犃犅狓＝０

4、与犅狓＝０为同解方程组的充分条件是（Ａ）狉（犃）＝犿．（Ｂ）狉（犃）＝狊．（Ｃ）狉（犅）＝狊．（Ｄ）狉（犅）＝狀．【】（８）已知犃是狀阶可逆矩阵，则与犃必有相同特征值的矩阵是（Ａ）犃－１２Ｔ．（Ｂ）犃．（Ｃ）犃．（Ｄ）犃．【】二、填空题（本题共６小题，每小题４分，满分２４分．把答案填在题中横线上）狓（９）设犳（狓）有连续导数且ｌｉｍ犳（狓）＝犪≠０，犉（狓）＝（狓２－狋）犳（狋）ｄ狋，当狓→０时，狓→０狓∫０犽是同阶无穷小，则犽＝．犉′（狓）与狓狀＋１（１０）ｌｎ［狓］ｄ狓＝．其中［狓］表示不超过狓的最大整数部分．∫１（１１）已知犳（狓，狔）＝狓

5、狔＋狓２狔狓狔犳（狓，狔）ｄ狓ｄ狔，其中犇：狔＝狓，狔＝０，狓＝１所围成区域，犇２则犳＝．狓狔（１２）若二阶常系数齐次微分方程狔″＋犪狔′＋犫狔＝０的通解为狔＝（犮）ｅ狓，则１＋犮２狓烄狔″＋犪狔′＋犫狔＝狓烅的解为．烆狔（０）＝２，狔′（０）＝０１（１３）设犳（狌）为连续函数，又设２２）ｄ狓ｄ狔＝．犳（狉）ｄ狉＝１，则犳（狓＋狔∫０２２狓＋狔≤１熿１２－２燄（１４）设犃＝２－１犪（犪为某常数），犅为４×３的非零矩阵，且犅犃＝犗，则矩阵犅的燀３１１燅秩为．三、解答题（本题共９小题，满分９４分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．（１

6、５）（本题满分１０分）设犳（狓）在［０，１］上有连续导数，且犳（０）＝０．１证明：至少η∈［０，１］，使犳′（η）＝２犳（狓）ｄ狓．∫０１４考研数学模拟考场１５套·模拟考场（三）（１６）（本题满分１１分）－狓的一条积分曲线，已知曲线狔＝犳（狓）（狓＞０）是微分方程２狔″＋狔′－狔＝（４－６狓）ｅ此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为０，试求：（１）曲线狔＝犳（狓）到狓轴的最大距离；＋∞（２）计算犳（狓）ｄ狓．∫０（１７）（本题满分１０分）π狓设犳（狓）在［－π，π］上连续，且犳（狓）＝２＋犳（狓）ｓｉｎ狓ｄ狓，求犳（狓）．１＋ｃｏｓ狓∫－π１５考

7、研数学模拟考场１５套（数学二）（１８）（本题满分１０分）小船从河边点犗处出发驶向对岸（两岸为平行直线），设船速为犪，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为犺，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离乘积成正比（比例系数为犓），求小船航行路线．（１９）（本题满分１１分）设犳（狓）在狓＝０的某邻域中有一阶连续导数且犳（０）≠０，犳′（０）≠０，当犺→０时，犪犳（犺）＋犫犳（２犺）－犳（０）是比犺高阶的无穷小，求犪，犫的值．１６考研数学模拟考场１５套·模拟考场（三）（２０）（本题满分１０分）（犽）设函数犳（狓）在（狓０－δ，狓０＋δ）有狀阶连续导数，犳（狓０）

8、＝０，犽＝２，３，…，狀－１，且（狀）犳（狓０）≠０，当０＜狘犺狘＜δ时，犳（狓０＋犺）－犳（狓０）＝犺犳′（狓０＋θ犺）