教学设计《三角函数的应用》临猗县耽子初中张娜

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1、三角函数的应用学习目标1.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.2.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用；发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.3.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.学习重点体会三角函数在解决问题过程中的作用；发展学生数学应用意识和解决问题的能力.学习难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学过程一、回顾与思考1、直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？2、互余两角之

2、间的三角函数关系？3、同角之间的三角函数关系？4、30°、45°、60°角的三角函数值是多少？二、创设情境、引入课题直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.下面我们就来看一个问题航海问题：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行

3、，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：三角函数的应用)三、引导探究，合作交流请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.分析：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后

4、与10海里比较.解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.测量问题如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)分析：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的

5、仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.解：在Rt△ADC中，tan30°=，即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50m，得-=50.解得CD≈43(m)，即塔CD的高度约为43m.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?CD＝43+1.6＝44.6m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6m.四、解决问题，共同提升楼梯改造问题：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0lm)请同学们根据题意，画

6、出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)分析：在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画㈩示意图(如右图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：如图，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的长度.解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地长BC＝4cos40°m.调整后,在Rt△AD

7、B中，sin35°＝，则AD＝m.楼梯占地长DB=m.∴调整后楼梯加长AD-AC＝-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC＝DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).钢缆问题如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，sin40°=，BC=DBsin40°=5sin40°(