成贤教材-高数B下§9.4重积分的应用

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1、§9.4重积分的应用9.4．1曲面的面积设有光滑曲面，它在面上的投影区域，函数在有一阶连续的偏导数。求曲面。在上任取一个直径很小的子域（也代表该子域的面积），在上任取一点，对应地有曲面上的一点，过点作切平面，它被以的边界曲线为准线，母线平行于轴的柱面割下部分的为，则相应于的小曲面部分的面积可用近似代替，设曲面在点处的法向量与正向的夹角，∵，∴，又∵切平面的法向量为，，∴，∴，称为曲面的面积元素。曲面的面积。或，①若曲面的方程为或，可将曲面分别投影到平面或平面，则得　或。　若曲面的方程为隐式：，且函数的偏导数有一个不为

2、零，例如，将，代入①得，　②6其中为曲面在面上的投影区域。1例1．求旋转抛物面上在平面下面的一部分曲面的面积。解：所求曲面在面上的投影区域为，D∵，，　，。9.4．2重积分在物理上的应用举例1．物体的质心设三维空间有n个质量为的质点组，它们的坐标分别为，，，，由力学可知，这个质点组的质心是，其坐标分别为，，。其中为该质点组的总质量，，，分别称为该质点组对，和的静力距。，，。设质量连续分布的物体，占有空间闭区域，密度函数为连续函数，求该物体的质心。6设为上任一点，取包含点M的一体积微元，则质量微元为，它对，和的静力距微

3、元分别为，，，则该物体的质心坐标为，，。若物体的质量是均匀分布的，即密度函数为常数，此时质心称为形心。均匀物体的质心坐标为，，。若是平面区域，面密度函数为，则平面薄片的质心坐标为，。若薄片是均匀的（即常数），则有，。其中表示区域的面积。D2C例2．求位于两圆和之间的均匀薄片的形心。解：∵区域关于轴对称，∴重心必位于轴上，于是，∵，，6，∴，故所求形心为。例3．求空间均匀立体形心。解：∵对称，∴形心在，。两曲面的交线为，即，：，：，。。，∴形心的坐标为（0，0，）。2．物体的转动惯量设三维空间有n个质量为的质点组，它们

4、的坐标分别为，，，。这个质点组绕着某一条直线l旋转，设这个质点到直线的距离分别是，由力学可知，质点组对直线的转动惯量为。当l分别是，，时，则质点组分别对，，6的转动惯量分别为，，。设质量连续分布的物体，占有空间闭区域，密度函数为连续函数，求该物体对，，的转动惯量。设为上任一点，取包含点的一体积微元，则质量微元为，点的距离为，于是点的质量微元关于的转动惯量为，从而，同理可得，。若是平面区域，面密度函数为，则平面薄片对、的转动惯量为，。例4．求均匀球体对于过球心的一条轴转动惯量（设密度为1）。解：取球心为坐标原点，轴与轴

5、合，又设球的半径为，则球体所占有的空间闭区域可用不等式表示。所求转动惯量就是球体对于轴的转动惯量。为了简化计算，同时考虑球体对、的转动惯量，，由对称性可知，于是。3．物体对质点的引力例5．如图，一空心柱体由柱面，及平面，为界面组成，，有一质量为m的质点位于坐标原点，6求空心柱体对质点的引力。解：设为空心柱体任一点，dV为包含点M的体积微元，是dV对质量为m的质点的引力，由万有引力定律得（k为引力常数）∵，，　∴，而，∴，，，，，，由积分区域的对称性知，，。故。6