成贤教材-高数B下§8.1多元函数的概念

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1、§8.1多元函数的概念8.1．1预备知识1.n维欧几里得空间有序元数组的全体为n维空间，而每个有序元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标。维空间记为。。即，，中两点，间的距离规定为，记为，即。可以证明距离满足下列性质：（1）非负性，的充要条件是；（2）对称性；（3）三角形不等式。定义了距离之后的称为n维欧几里得空间。唯一确定了以为起点，为终点的向量，常称为一个，记。2.邻域设点，，：；：。在中，就是平面上以点为中心、11为半径的圆的内部的点的全体，即若不需要强调邻域半径，则用表示点的邻域；用表示点。外点内点边界点E3.开集、闭集、区域设点集，，。（1）内点：若，则称是内点。（2）外

2、点：若，则称是外点。（3）边界点：若的任何邻域中既含有点，又含有非点，则称是边界点。的边界点的全体称为边界。（4）有界集与无界集：如果存在原点的某个邻域，使，则称为有界集，否则称为无界集。（5）开集：如果点集的点都是内点，则称为开集。（6）聚点：如果在的任一邻域中至少含有的一个异于的点，则称是的聚点。（7）闭集：若的所有聚点都在内，则称是闭集。（8）连通的：设是一个开集，如果对于内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于，则称开集是连通的。（9）区域（或开区域）：连通的开集称为区域（或开区域）。（10）闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域。（11）区域的直径：称为集合的直径。

3、例如：①点集中每一个点都是的内点；的边界是和；是有界开区域。②是有界闭区域。11③是无界开区域。8.1．2n元函数定义：设点集，如果存在一个对应法则，对，有唯一的数与之对应，则称是定义在上的元函数，简记为或其中为自变量，称为的定义域。例1．确定并画出下列函数的定义域D。（1）解：，∴函数的定义域为，是无界区域。（画图时介绍“以点示面法”。）（2）解：∴定义域为。例2．设，求。解：设，，，∴。8.1.3二元函数的几何意义设函数的定义域，，11对应的函数值为，于是有序实数组确定了空间的一点。当遍取的一切点时，得到一个空间点集，这个点集称为函数的图形。通常二元函数的图形是一张空间曲面。例如：线性函

4、数的图形是一张平面。函数的图形是上半球面。函数的图形是旋转抛物面。§8．2多元函数的极限与连续8．2．1多元函数的极限先讨论二元函数当（或当）时的极限。，即。定义1设函数在点集上有定义，是聚点，一个定数。若，时，总有成立，则称A为函数当（或当）时的极限，记作或。二元函数的极限称为二重极限。例1．设，求证证明：∵，∴，取，则当时，总有成立，故注意：二重极限存在，其值，是指动点以任何方式趋向于时，，且其值都。11如果点沿不同路径趋向于时，趋向于不同的值，那么就可断定的极限不存在。例4．考察函数在点是否存在极限？解：（1）当点，即当，时，有，（2）当点，即当，时，有，（3）当点沿直线趋于点时，即当

5、，时有，因此不存在。关于二元函数的极限概念，可相应地推广到元函数上去。8．2．2多元函数的连续性1．二元函数在点连续的定义定义2设函数的定义域，是聚点。若或，则称函数在点处连续。若函数在点处不连续，则点称为函数的间断点。若在开区域（或闭区域）某些孤立点，或者沿某些曲线，函数没有定义，但在其余部分，都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点都是函数的间断点。11例如函数的间断点是圆周上的点。函数的间断点是。2．函数在区域D上的连续性如果函数在区域D上任意一点都连续，则称在区域D上连续。二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。3．二元函数和、差、积、商的连续性和二元复合函数的连续性二元连

6、续函数的和、差、积、商（在分母不为零处）均为连续函数；二元连续函数的复合函数也是连续函数。4．二元初等函数由自变量，常数和基本初等函数，经过有限次四则运算和复合步骤所构成的，并能用一个解析式子所表示的函数称为二元初等函数。例如：；；等都是二元初等函数。结论：一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的。故求二元初等函数在定义域内某点的极限值，就是求该点处的函数值。一元函数极限的有关性质和运算法则，例如极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、夹逼定理等都可以推广到二重极限中来。例5．求下列极限：（1）；解：。（2）解：愿式。（3）；解：；11（4）；解：以上关于二元函数连续性的概念可相应推广到

7、多元函数上去。5．有界闭区域上多元连续函数的性质（1）有界性定理在有界闭区域的多元连续函数，在必有界。（2）最大值、最小值定理在有界闭区域多元连续函数，必有最大值和最小值。（3）介值定理在有界闭区域多元连续函数，如果在取得两个不同的函数值，则它在取得介于这两个值之间的任何值至少一次。§8.3偏导数8.3.1偏导数概念定义1设函数在点的某一邻域内有定义，若存在，则称此极限为在点处对，记为，或.即。类似地，在点处