成贤教材-高数B下§10.4 格林公式及其应用

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1、§10.4格林公式及其应用10.4.1格林公式定义若平面区域D内任一封闭曲线围成的部分都属于D，则D称为单连通区域，否则称为复连通区域。例如：圆形区域、上半平面是单连通区域；圆环区域、是复连通区域。通俗地说，单连通域就是不含有“洞”（包括点“洞”）的区域。规定C的正向如下：当观察者沿C的此方向行走时，D靠近他的部分总在他的左侧。例如D是由边界曲线和所围成的复连通区域，正向是逆时针方向，正向是顺时针方向。定理1（格林定理）设D是以逐段光滑曲线C为边界的平面闭区域，函数、在D上具有一阶连续偏导数，则有其中

2、。此公式称为格林（）公式。证明：（1）若D既是。设，∵连续，∴，∴.①又设，18类似可证，②合并①、②得。（2）若区域D由分段光滑的闭曲线围成，如图。则作辅助线把D分成两个既是的区域，。（3）若是由两条闭曲线和所围成复连通区域，则同样可以通过作辅助线证明格林公式仍然成立。通过格林公式，沿封闭曲线的正向的曲线积分，可以转化为由此封闭曲线围成的平面区域上的二重积分。应用格林公式必须注意：（1）公式的条件是：封闭、正向、偏导数连续，三者缺一不可。（若积分曲线C不封闭，则添加辅助线使之封闭；若C是顺时针方向，

3、则改为逆时针方向；应用公式前首先要检验的连续条件。）（2），。（3）用公式计算二重积分时不能将曲线C的方程代入被积函数。用格林公式求平面图形的面积若在公式中，取，，则得，∴。（其中A是区域D的面积。）例1．求由星形线C：所围成的面积A。解：的参数方程为（）。=。18例2．计算，其中C为顺时针方向的圆周。解：∵，，，∴注意：。不能将曲线方程代入被积函数。例3．计算曲线积分，其中C为由点至点的上半圆周。解：添加有向线段，则是一条正向封闭曲线，设其围成的区域。∵，，，，，∴，故。例4．计算，其中正向曲线C为

4、：（1）不包围原点O的分段光滑闭曲线；（2）圆周；（3）包围原点的分段光滑闭曲线。解：设闭曲线C所围的区域为D。当时，，，。18（1）由公式得。（2）当C为圆周时，，在原点不连续，不能直接用公式。方法1：设C的参数方程为，。方法2：先把C的方程代入曲线积分得，这时奇点已清除，可应用公式，故。（3）当C包围原点O时，以为圆心，作半径为，并使小圆域包含在C围成的区域内。，设D为由所围成的区域，在区域D上由公式得∴。课堂练习：计算，其中C为圆周，取逆时针方向。解：，，当时，，。问：在圆C包含的区域内能否用？

5、作：，取逆时针方向。18设所围成的区域为D，，在D上由得，∴。注：（1）一般地，在C内“挖洞”，即在C所围成的区域内作椭圆，则在所围成的区域D上，满足的条件，得（这是通法）。（2）“挖洞”有技巧，要看被积函数具有什么形式，是作圆、椭圆，还是其他封闭曲线。10.4.2平面上曲线积分与路径无关的条件设一个平面区域，若对任意两点及从点到点的任意两条曲线，等式恒成立，则称曲线积分在内与路径无关。定理2若向量值函数在单连通域上有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：（1），有；（2）沿内任意的逐段光滑闭曲线，有；

6、（3）与路径无关，只与位于内的起点与终点有关。（4）在存在二元函数，使得。证明：由（1）（2）。设是所包围的区域，∵是单连通域，∴。∵在上有，∴由公式得。由（2）（3）。，以不同的路线，连结与。18若不相交，则，∴。若相交，则再引，使，.由由（3）（4）。∵曲线积分与路径无关，∴取定起点后，曲线积分则是终点的函数，记为，即。下面来证明。∵曲线积分与路径无关，∴取由到是沿任意光滑曲线，到是平行的线段。∵，(上，是常数，.)，。(积分中值定理)而在点上连续，∴。同理可证，从而。由（4）（1）。∵，∴，，，

7、，∵有一阶连续偏导数，即连续，∴。定理2表明，在单连通域内，如果，则曲线积分与路径无关，此时可以选择特殊的路径计算给定的曲线积分。18定理2中的区域必须是单连通域，若是复连通域定理就不一定成立。例如：，，在复连通域中，具有连续偏导数，且，但。例5．计算，其中摆线，从点到点的一段弧。解：,,∵、在全平面上连续，且,∴曲线积分在全平面上与路径无关。把积分路径改为直线段，则。例6．设位于点的质点质点引力大小为（常数，），质点沿曲线自运动到，求在此运动中质点质点引力所作的。解：设质点位置为，则，，，，：，。∵

8、，，，∴曲线积分与路径无关，取直线段为积分路径，∴。18例7．计算，其中是沿点从点到的曲线弧。解：，，∵，∴在任何不含原点的单连通域内曲线积分与路径无关。注意：不能选择连接的直线段作为积分路径。（1）选取平行于坐标轴的折线ACDB作为积分路径，：，，；：，，；：，，。则。（2）选取圆弧作为积分路径，其方程为，，。定义1若函数的全微分，则称是表达式的一个原函数。18若在单连通域上具有一阶连续偏导数，则在D内存在原函数的充要条件是，且的所有原函数为，其中C为