线性代数第八讲

《线性代数第八讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、非齐次方程组（*）：齐次方程组（**）：称（**）为（*）的导出方程组性质(1)设是非齐次线性方程组AX=b的任意两个解向量，则是其导出方程组的解向量。(2)设是非齐次线性方程组AX=b的任一个解向量，是其导出方程组的任一个解向量，则是AX=b的解向量。定理设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则其一般解为其中是AX=b的一个特解，是导出方程组的一个基础解系，是t个任意常数。25例求下列方程组的一般解解考虑方程组25∴一般解为。▌例已知非齐次方程组的两个解，求其一般解。解因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数

2、矩阵A的秩小于等于2。又A的前两行线性无关，说明A的秩大于等于2。由此得秩=2。于是，原方程组的导出方程组的基础解系含3-2=1个解。可取25作为导出方程组的基础解系，取作为原方程组的特解，则原方程组的一般解为。▌思考题设是非齐次线性方程组的导出方程组，问（1）有非零解有无穷多解？（2）有唯一解只有零解？小结：1.求线性表出2.判别线性相关性3.求向量组的秩与极大无关组4.求矩阵的秩5.求齐次线性方程组的基础解系6.非齐次线性方程组解的结构25例证明：若向量组线性相关，则向量组也线性相关证明因为可由线性表出，所

3、以秩{}≤秩{}。已知线性相关，故有秩{}

4、25已知是基础解系，它们线性无关，故。由式(2)得。所以,线性无关。▌例设（1）证明：若有解，则的任一组解也是的解；（2）证明：有解无解，其中0是零矩阵。证明（1）设有解，则存在一个，使。于是，。25任取的一个解，则。因，故是的解。（2）设有解，则有。因故25。由此得。设，则又，故。由此得。25所以，方程组有解。▌例已知四元齐次线性方程组（I）与四元齐次线性方程组（II）的一般解。问方程组（I）与（II）有无非零公共解？求它们的全部公共解。解（法一）易得方程组（I）的一般解为。设是方程组（I）与（II）的公共解

5、，则存在数使，即25因向量组线性相关，故存在不全为零的使上式成立。由此可知，方程组（I）与（II）有非零公共解。由上式可得，解得其一般解为。于是，方程组（I）与（II）的全部公共解为。（法二）因方程组（II）的一般解为，代入方程组（I）有。25由此得。所以，方程组（I）与（II）的全部公共解为。▌例考虑方程组(I)，(Ⅱ)。在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。讨论首先，方程组(Ⅰ)的理论解为，方程组(Ⅱ)的解为。1.把舍入为1.01，得，25的解为，的解为。2.把舍入为1.02，得，的解为，的解为。上述

6、讨论可得，方程组(Ⅰ)的系数的一个极小变化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。而方程组(Ⅱ)则无此现象，相应称之为良态的。例（投入产出问题）25假设有三户人家，其中一户有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们共同制订了一个修理计划：每户出一人，工作天，并且每人工作一天应由三家共同支付工资（包括维修自己的住房）。具体日程表如下每个工人的工作天数木工电工水管工木工住房的维修所需天数216电工住房的维修所需天数451水管工住房的维修所需天数443出于可以理解的原因

7、，这三户要求满足如下的平衡条件：“每户在天内的总支出=其总收入”。若规定每个工人的日工资在元间浮动，则我们的问题是，如何确定每个工人的日工资数额，以使上述修理计划得以实现。解设分别表示木工，电工，水管工的日工资，则平衡条件可以表示为。25整理并写成矩阵形式，得。所以，是齐次线性方程组的解。不难求出上述方程组的一般解为，这里，是任意常数。根据事先规定的工资浮动范围，可取。由此得木工、电工、水管工的日工资分别为元，元，元。▌25这个例子有一个显著特征：我们把这三个工人看成一个经济体系中的三个主体（称为企业），他们在

8、获得投入（工资）的前提下，都具有产出（工作）的能力。而且，每个人的产出量（天数）是确定的，但产出的价格（日工资）不确定。我们需要确定每个人的产出价格，以使在固定时间周期（天）内，每个人的总产出等于其所获得的总收入。显然，这三个工人在这天就构成了一个自给自足式的经济系统。下面考虑一般情况。假设有一个经济系统由个企业构成，顺序给这些企业标号为第，第，…，第个企业。在一个固定时间周期内，每个