线性代数第六讲

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1、第二章线性方程组§2.1向量的线性相关性一、向量的定义及运算定义由n个数构成的n元有序数组称为n元向量，记为（），其中称为该向量的第i个分量。定义设，。若s=t且(i=1,2,…,s)，则称向量α与β相等，记为α=β。注意：行向量：（）列向量：，也可记为。定义(1)设，是两个n元向量，则称下列向量为向量α与β的和，记为α+β；（2）设是n元向量，k是数，称下列向量为数k与向量的数量乘积，记为。例设是任一n元向量，则0α=（0,0,…,0）我们称分量全为零的向量（0,0,…,0）为零向量，记为θ；称向量为向量的负向量，记为–。性质设α、β、γ是

2、任意三个n元向量，k、l是任意两个数，则有(1)α+β=β+α(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(1)α+θ=α（θ是n元零向量）(2)α+(–α)=θ(3)1α=α(4)(kl)α=k(lα)(5)(k+l)α=(kα+lα)(6)k(α+β)=kα+lβ另外，若，则或。有惟一解：。二、向量的线性相关性三个基本概念定义设是m个n元向量，k1,k2,…,km是任意m个数，称下列向量是向量组的一个线性组合。此时，也称向量β可由向量组线性表出。例一个向量的线性组合______。例向量组能否线性表出？例已知向量，问：能否由线性表出？解设则有由此得

3、（存在使成立它们使成立。即可由线性表出线性方程组有解。）经验证，有解，故可由线性表出。结论：①线性表出非齐次方程组有解②表示法唯一解唯一定义设是m个元向量。若存在m个不全为零的数，使得则称向量组线性相关。不线性相关的向量组称为线性无关。例设与是两个2元实向量，则，线性相关与共线。例设与是两个n元向量，则，线性相关与对应分量成比例。例2.1.5一个向量线性相关。例2.1.6证明向量组线性相关。证明设则有（存在不全为零的使成立它们也使成立，即线性相关齐次线性方程组有非零解。）经验证，方程组有非零解，故线性相关。线性无关：不存在不全为零的数，使得对

4、任意不全为零的数，均有由必可导出结论：①线性相关齐次线性方程组有非零解；②线性无关齐次线性方程组无非零解。例指出向量组的线性相关性。解令，则有因方程的个数<未知数的个数，故上述齐次线性方程组有非零解。于是，,线性相关。例2.1.7m个n元向量（m>n）线性相关。例已知向量组线性无关。令，问：是否线性相关？解令，则有因线性无关，故又上述方程组只有零解：。由此得线性无关。例2.1.4在一个向量组中，如果有一个部分组（即由其中一部分向量构成的向量组）线性相关，则整个向量组也线性相关。例包含零向量的向量组线性相关。例已知是三个4元向量，令证明：若线性

5、无关，则也线性无关。证明：令，则有（1）（2）由式(1)得，（3）已知线性无关，故由式(3)得所以，线性无关。问题：(1)由线性相关是否可得出也线性相关？(2)由的线性相关性能对,的线性相关性做出那些判断？(3)上述讨论是否可在向量个数、向量元数等方面一般化？定理2.1.1向量组线性相关的充分必要条件是：至少存在一个可由其余向量线性表出。例2.1.9设是n个n元向量，称之为n元基本向量组，则线性无关；对任一n元向量，均有线性相关，且可由线性表出。定理2.1.2设向量组线性无关，而向量组,线性相关，则可由线性表出且表示法唯一。证明,线性相关存在

6、不全为零的数，使若，则且不全为零。由此得线性相关，与假设矛盾，故。于是，即可由线性表出。设则因线性无关，故即所以，表示法唯一。例已知向量组线性相关，向量组线性无关。问能否由线性表出？法一因为向量组线性无关，故其部分组也线性无关。由向量组线性相关，所以可由线性表出。法二因为向量组线性相关，故存在不全为零的三个数，使（1）若，则不全为零，并且由此得线性相关。这与已知条件“线性无关”相矛盾。所以，。于是由（1）式得即可由线性表出。定义设与是两组n元向量，若每个均可由线性表出，则称向量组可由向量组线性表出。若向量组与向量组可相互线性表出，则称向量组与

7、向量组等价，记为{}{}例2.1.11讨论下列向量之间的关系：(1)与(2)与例一个向量组可线性表出它的任意一个部分组。性质向量组的等价具有(1)自反性：{}{}；(2)对称性：若{}{}，则{}{}；(3)传递性：若{}{}，{}{}，则{}{}定理2.1.3设是一组n元向量。若存在另一组n元向量，使得(1)可由线性表出(2)则向量组线性相关。推论设与是两组n元向量。若(1)可由线性表出，(2)线性无关，则。例等价的线性无关向量组包含相同个数的向量。