GF(2)上一类循环码的权分布

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1、摘要令7．=2“，q=2k，其中n和七均为整数且七h若n为偶数，ign=2no，礼。是奇数．GF(r)为r元有限域，其中r是一个素数的方幂．本文定义了一类特殊的循环码：C={c(口，b)la，b∈GF(7'))，其中c(口，∞=(Tr，／g(a(／30)2。+1+6po)，Tr，／q(o(卢1)2。+1+6卢1)，⋯，Tr，／q(n(p2“一2)2。+1+卵2“一2)，Tr，／g是从GF(r)到GF(q)的迹函数，卢是GF(r)。的生成元，并且用矩阵方法计算了指数和∑x(ax2q1+bx)(凸，b∈CF(r))，xEGF(r)其中a是偶数，x(x)=(一1)T7

2、(。)是GF(r)的加法特征标，Tr是由CF(r)至lJGF(2)的迹函数．从而确定了当k111时，即GF(2)一卜的循环码C的权重分布．另外，应用矩阵方法证明了一般的r元循环码的迹表达式．关键词：指数和循环码权重分布IllAbstractLetr=2n，q=2七，wherenandkareintegers，kin．Ifniseven，writen=2no，wherenO●isodd．LetGF(r)beafinitefieldwith7'elements，whererisapowerofaprime．Inthispaper’wedefineaspecialcl

3、assofcycliccodesC={c(n，b)la，b∈GF(r))，wherec(％∞=(n，／口(a(flo)2。+1+筇o)，Tr，／q(o(卢1)2。+1+够1)，⋯，Trr／q(n(卢2”_2)24+1+印2”-2)，玑／qistheRacemappingfromGF(r)toGF(q)，卢isageneratorofGF(r)+，7．=2“，g=2知，nandkarepositiveintegersandkin．Ifnisevenand礼=2no．thenweassumenOisodd．Wedeterminethevalueoftheexpone

4、ntialsum∑x(nz2Ⅵ+妇)a，b∈GF(r))，xEGF(r)whereOtiseven，x(x)=(一1)n(引isthecanonicaladditivecharacterofGF(r)，TristhetracemappingfromGF(r1toGF(2)．Thustheweightdistributionofcisobtainedwhenk=1．hladdition，weprovetheRaceexpressionofcycliccodesbymatricesskill．KeyWords：ExponentialsumCycliccodeWeig

5、htdistributionV●目录中文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．III英文摘要⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯V引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．11预备知识⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31．1循环码的相关概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．31．2指数和S(f,n)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．32一类循环码的权重分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．52．1用矩阵方法计算指数和S(f'n)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯52．2GF(2

6、)上一类循环码的权重分布⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．93用矩阵的方法来证明r元循环码的迹表达式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．13结束语⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．15参考文献⋯⋯⋯．．：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．19VⅡ引言人类生活中和别人交换信息是必不可少的一部分，而在这种交流通信中运用明码和密码的历史是相当久远的，但是编码理论是针对当代的数字通信、数字存储等等具体需求，于五十年代发展的一个新的应用数学分支．编码理论，也可叫做纠错码理论，是信息理论的一个专

7、门的分支，是由数学作为理论基础的．在实际应用中，源于现代通信技术和电子计算机技术，它们中的差错控制间距的需要而发展的．所以，这一领域是通信工作者的研究的热点，也得到了数学研究者的青睐．在信息技术的发展的同时，也带动了编码理论的快速发展．在上个世纪四十年代末，Shannon，Hamming和Golay等人创立了纠错编码理论．其中在1948年美国数学家Shannon发表的论文“通信的数学理论”提出了非常著名的受干扰信道编码理论，开创了一门对现代科学技术具有重大意义的新学科一信息论．而Hamming在1950年发表的论文“检错码和纠错码”是第一篇开拓编码理论研究的论文

8、．编码理论主要有以下两个