选修4-5《不等式选讲》测试题

选修4-5《不等式选讲》测试题

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时间:2019-06-30

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1、不等式选讲测试题1.若是任意的实数,且,则()(A)(B)(C)(D)2.不等式的解集是()(A)(B)(C)(D)3.不等式的解集为()(A)(B)(C)(D)4.若,则的最小值为()(A)2(B)4(C)6(D)85.若A=,B=,则A,B的大小关系为__________.6.设,,是不全相等的正数,求证:1);2).7..已知,,求证≥8.如图1,把一块边长是的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时,才能使盒子的容积最大?9.已知,,,且不全相等,求证.10.已知,,…,,且,求证.11.已知,,且.试证:,中至少

2、有一个小于2.12.求函数的最大值.13.已知,求证≤1.14.已知,求的最小值.15.已知,求的最小值.416.已知,,是正数,求证.17.证明:能够被6整除.18.设,求证:.不等式选讲答案1.D.提示:注意函数的单调性;2.B.提示:先移项,再通分,再化简;3.D.提示:当≤-2时,原不等式可以化为≥5,解得≤-3,即不等式组的解集是.当时,原不等式可以化为≥5,即3≥5,矛盾.所以不等式组,的解集为,当≥1时,原不等式可以化为≥5,解得≥2,即不等式组的解集是.综上所述,原不等式的解集是;4.C.提示:;5..提示:通过考察它们的差与0的大小关系,得出这两个多项式的大小关系.因为所以;

3、6.提示:,,分别将以上三式相乘或相加即可;7.提示:;8.提示:设切去的正方形边长为,无盖方底盒子的容积为,则当且仅当,即当时,不等式取等号,此时取最大值4.即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的时,盒子容积最大.9.分析:观察欲证不等式的特点,左边3项每一项都是两个数的平方之和与另一个数之积,右边是三个数的积的6倍.这种结构特点启发我们采用如下方法.证明:因为≥,,所以≥.①因为≥,,所以≥.②因为≥,,所以≥.③由于,,不全相等,所以上述①②③式中至少有一个不取等号,把它们相加得.10.提示:观察要证明的结论,左边是个因式的乘积,右边是2的次方,再结合,发现如果能将左边转化为,,…,的

4、乘积,问题就能得到解决.证明:因为,所以,即.同理,,…….因为,,…,,由不等式的性质,得.因为时,取等号,所以原式在时取等号.11.提示:要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰.另外,如果从正面证明,需要对某一个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论,而从反面证明,则只要证明两个分式都不小于2是不可能的即可.于是考虑采用反证法.证明:假设,都不小于2,即,且.因为,,所以,且.把这两个不等式相加,得,从而.这与已知条件矛盾.因此,,都不小于2是不可能的,即原命题成立.12.提示:利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条

5、件.这个函数的解析式是两部分的和,若能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.解:函数的定义域为,且.当且仅当时,等号成立,即时函数取最大值.413.提示:14.提示:.15.提示:16.提示:17.提示:这是一个与整除有关的命题,它涉及全体正整数,若用数学归纳法证明,第一步应证时命题成立;第二步要明确目标,即在假设能够被6整除的前提下,证明也能被6整除.证明:1)当时,显然能够被6整除,命题成立.2)假设当时,命题成立,即能够被6整除.当时,.由假设知能够被6整除,而是偶数,故能够被6整除,从而即能够被6整除.因此,当时命题成立.由1)2)知,命题对一切正整数成立,即能够被6整除;18.证明

6、:(法一)要证原不等式成立,只须证:即只须证:由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式成立。(法二)由对称性,不妨设:,则,所以:(顺序和)(乱序和)(顺序和)(乱序和)将以上两式相加即得:.4

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