第3章力学量用算符表达习题解答

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1、习题3.1下列函数哪些是算符厶的木征函数，其木征值是什么?①兀2,②e*,③sin兀，(4)3cosx,@sinx+cosx解：①_^(x2)=2dx，不是J的木征函数。dx1dx2盯是一的本征函数，其对应的本征值为1。dx〃2adx③一(sinx)=——(cosx)=-sinxdx^dx口J见，sinx是一的本征函数，其对应的本征值为一1。dh〃2ddx2④一(3cosx)=—(-3sinx)=-3cosx•dx3cosx是—的本征函数，其对应的本征值为一1。dx1⑤dx2(sinx+cosx)=-^-(cosx-sinx)=-sinx-cosxdx

2、=-(sinx+cosx)sinx+cosx是一的本征函数，其对应的本征值为一1。dx3.2一维谐振了处在基态=a2x2i(0122⑴势能的平均值T如7(2)动能的平均值亍=匕解:(1)T如二抄e^dx*"•21后12112力说■=寸0而二严•五戶严认=1・3・5••…(2-1)M02%2(2)T=-^=-oo2“2“I//(x)p2i//(x)dx—8ioo—ooah22£2(一力？厶)/产％dx2oo(-a2x2)e~axdx—co——cr2fpe~a2x'dx-a2oo[•OOx2e-a2x2dx]—8a秆2「石2扳、飞苹•而］h2ycoV/r

3、2“2a4〃4“h=—ha)4或T=E-V-—hco——ha)=—ha)244习题3.3指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。〃2N①②［］2；③工敢k=j2解：①4x2^y是线性算符dx2必dx2[2[2CO)•・•4x2(q(p+c2(/))=4%2(c((p)+4xdx~~dx~A2d2.2d2.=^1-4x—(p+c2-^—(l)②［］2不是线性算符T[（?]0+

4、出下列算符哪个是Hermite算符,说明其理由。①E,②厶③4竺dxdxdx解：①当XT±g,0TO,0TOf0*色0力=0*0

5、；-I*—y/^（!）dx=-f—i//^（l）dx=-f（/）dxdxdx—dx—dx订（〒肖）*0力—dx/.2不是Hermite算符dxf=if—i//^（/）dx=-/[（^-y/屮（/）dxJ-00dxdxdx=f{i—i/f）^（/）dxJ-00dx/.z•卫■是Hermite算符dx（/）dx=4屮*cl©~dxdxdx屮）注0dx・・.42是Hennite算符dx[}习题玷-刚性转子转动惯量为I,它的能量的经

6、典表示式是―务，L为角动量，求与此对应的量了体系在下列情况下的定态能量及波函数:①转了绕一固定轴转动;②转子绕一固定点转动。解：（1）设该固定轴沿Z轴方向，则有L2=4哈米顿算符其木征方程为（育与r无关，属定态问题）与齐如=8（0）=>21d（p~沪0（如d（p22IE0（0）令m2=-,贝lj："0甲）+加讪（0）=0力d（p-取其解为恨4=Adm（p由波函数的单值性，应有（加可正可负可为零）0（卩+2/r）=0（仞=>严w停）=严即J?”"=].・』二o,土1,土2,…转子的定态能量为E肿=Xi（*±】，±2,…）可见能量只能取一系列分立值，构成分

7、立谱。其定态波函数为K=A严A为归一化常数，由归一化条件•2兀°d（p=A^27TA=・・・转子的归一化波函数为：仏珂右严综上所述，除m二0外，能级是二重简并的。（2）取固定点为坐标原点，则转了的哈米顿算符为:方与r无关，属定态问题，其本征方程为:H=^-L221亠13yg（p）=ey®（p）（式屮Y（&,0）设为方的本征函数，E为其本征值）i3Y（O,（p）=2IEY（0,（p）令2IE=Ati则有：i3Y（ff,（p）=Ati2Y（0,（p）此即为角动量F的木征方程，其木征伯:为：Z?=肋2=«£+]）力2（0=0,1,2,…）:.转子的定态能量

8、为：3川+血21可见，能量是分立的，旦是（20+1）重简并的。习题3.6利用式（3.12）求出例题3.5中的展开系数。解：依题意，有=I）0；（兀）古（01（兀）+03（兀））山=古（氏1+氏3）即:n兀门/——xfia其他为零习题3.7在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为Q,如果粒子的状态由波函数0（兀）二Ax(6/-x),(0a)描写，A为归一化常数，求粒子能量的概率分布和平均值。解：由波函数鸭（兀）的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为(n=123…)Elt=n2

9、7T2ti220(n=1,2,3,…)先将肖（兀）归一化:-2ax+x2)dxl=jdx=£A