高三数学第二轮复习讲义-立体几何

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】立体几何典型例题类型一：三视图例1.陕西理5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）（A）（B）（C）（D）即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是.类型二：关于球例2.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC的体积为A．B．C．D．1变式训练2.（四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．答案：2πR2解析：如图，设求的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积，当时，S取最大值，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差

2、为．类型三：平行与垂直的证明例3.如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD.变式训练3：如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,E

3、F=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.类型四：例4：如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．(19)解法一：（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥

4、AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.………………3分作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接

5、B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.变式训练4：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为R，R，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.（Ⅰ）,因为，所

6、以CM⊥SN（Ⅱ）,设a=（R，R，z）为平面CMN的一个法向量，则因为所以SN与片面CMN所成角为45°。例5：如图5，在椎体中，是边长为1的棱形，且,,分别是的中点，（1）证明：;（2）求二面角的余弦值.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】变式训练5：如图5，在圆锥中，已知的直径的中点．（I）证明：（II）求二面角的余弦值．解：（I）连接，因为,为的中点，所以.又因为内的两条相交直线，所以而，所以。（II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，过作连接,则有，从而，所以是二面角的平面角．在在在在,所以。故二面角的余弦值为

7、。类型六：例6：直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF＝，且AC=CB=4，将此平面沿【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】直线EF折成的二面角－EF－，BP⊥平面，点P为垂足.（Ⅰ）求△ACP的面积；（Ⅱ）求异面直线AB与EF所成角的正切值.BAFCECBPAEF（Ⅰ）解：如图，在平面内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连结BM，则∠BMP为二面角－EF－的平面角.以点P为坐标原点，以直线PM为R轴，射线PB为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系PRRz.在Rt△BMC中,由∠BCM＝，C