椭球面上的测量计算

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1、椭球面上的测量计算控制测量第7章了解椭球的数学性质；掌握椭球面同地面之间的关系；了解椭球面上点的大地坐标计算。椭球面上的测量计算本章主要内容控制测量§7.1地球椭球的基本几何参数及其相互关系§7.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系§7.3椭球面上的几种曲率半径§7.4椭球面上的弧长计算§7.5大地线§7.6将地面观测值归算至椭球面§7.7大地测量主题计算概述控制测量§7.3椭球面上的几种曲率半径为在椭球面上进行控制测量计算，须了解椭球面上有关曲线的性质。过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面的交线叫法截弧（线）。包含椭球面一

2、点的法线可作无数个法截面，相应有无数个法截弧。椭球面上法截线的曲率半径不同于球面上的法截线（大圆弧）曲率半径（都等于圆球的半径），而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。为此先研究子午线及卯酉线的曲率半径。控制测量一、子午圈曲率半径（M）在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有(子午面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M表示。控制测量由平面曲线的曲率半径定义公式可得：由微分三角形DKE可得：（dx取负号，是因为在子午面直角坐标系中，点的横坐标随纬度B的增大而缩小）控制测量两式相代得控制测量则曲率半径为，则又

3、或控制测量M与B有关，是纬度B的函数，随B的增大而增大，变化规律如下表：BM说明B=00M小于赤道半经a00

4、定理知，假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为法截弧、一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于两截弧平面夹角的余弦。即：平行圈平面与卯酉圈平面之间的夹角即为大地纬度B,平行圈半径r就等于P点的横坐标x，即：由此可得卯酉圈半径为：控制测量由图看出也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之间的一段法线的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭球的旋转轴上。控制测量N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而增大，变化规律如下表：控制测量BN说明B=00卯酉圈变为赤道00

5、圈变为子午圈，N=c上述M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中统称为主曲率半径。控制测量三、任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800；卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，这两个法截弧在P点上是正交的。控制测量根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：上式分子分母同除M，并顾及则有,控制测量上式即为任意方向为A的法截弧的曲率半径的计算公式。四、平均曲率半径在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径—平均曲率半径（就是

6、过椭球面上一点的一切法截弧(0--2），当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限，用R表示)。推导得其最终公式为控制测量上式即平均曲率半径的计算公式，表明，曲面任意一点的平均曲率半径点是该点上主曲率半径的几何平均值。平均曲率半径：指经过曲面任意一点所有可能方向上的法截线曲率半径RA的算术平均值。五、M、N、R的关系椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取，其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系：N>R>M只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：控制测量§7.4椭球面上的弧长计算一、子午线弧长计算公式二、平行圈弧长公式三、子午

7、线弧长和平行圈弧长变化的比较控制测量子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B子午线弧长的计算公式。取子午线上某微分弧,要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长,必须求出下列积分值:将积分因子按二项式定理展开为级数形式一、子午线弧长计算公式令P点纬度为B,P’点纬度为B+dB,P点的子午圈曲率半径为M,于是有为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数.则由于:控制测量于是有:其中：经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：克拉索夫斯基椭球