高一基本不等式讲义

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1、均值不等式应用（技巧）一．均值不等式2222ab1.（1）若a,bR，则ab2ab(2)若a,bR，则ab（当且仅当ab时取“=”）2*ab*2.(1)若a,bR，则ab(2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）22*ab(3)若a,bR，则ab(当且仅当ab时取“=”）222ab2ab3.若a,bR，则()（当且仅当ab时取“=”）22114.若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2(当且仅当x1时取“=”）xx111若x0，则x2即x

2、2或x-2(当且仅当ab时取“=”）xxxab5.若ab0，则2(当且仅当ab时取“=”）baababab若ab0，则2即2或-2(当且仅当ab时取“=”）bababa注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域211（1）y＝3x＋2（2）y＝x＋2xx解题技巧

3、：技巧一：凑项51例1：已知x，求函数yx42的最大值。445x技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82)x的最大值。3变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。21技巧三：分离2xx710例3.求yx(1)的值域。x1技巧四：换元22(t1)7(t1+10）t5t44yt=5ttta技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数fx()x的单调性。x2x5例：求函数y的值域。2x42x25112解：令x4tt(2)，则yx4t(t2)x24x

4、24t11因tt0,1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t25所以，所求函数的值域为,。2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.21xx311（1）yx,(0)（2）y2x,x3(3)y2sinx,x(0,)xx3sinx应用二：条件最值ab1.若实数满足ab2，则33的最小值是.ab分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且33定值，因此考虑利用均值定理

5、求最小值，abababab解：3和3都是正数，33≥233236ababab当33时等号成立，由ab2及33得ab1即当ab1时，33的最小值是6．11变式：若logxylog2，求的最小值.并求x,y的值44xy2技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。192：已知xy0,0，且1，求xy的最小值。xyx,yR且2xy1，求11变式：（1）若的最小值xya,b,x,yRab(2)已知且1，求xy的最小值xy22y2技巧七、已知x，y为正实数，

6、且x＋＝1，求x1＋y的最大值.222a＋b分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。22222121＋y1y同时还应化简1＋y中y前面的系数为，x1＋y＝x2·＝2x·＋222221y下面将x，＋分别看成两个因式：222221y22y12x＋(＋)x＋＋21y2222321y3x·＋≤＝＝即x1＋y＝2·x＋≤2222242241技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的

7、；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。230－2b30－2b－2b＋30b法一：a＝，ab＝·b＝b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜152－2t＋34t－31161616令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2t·＝8tttt1∴ab≤18∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。18法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab2令u＝ab则u＋22u－30≤0，－52≤u≤

8、321∴ab≤32，ab≤18，∴y≥18ab点评：①本题考查不等式ab（