高一基本不等式讲义.pdf

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1、均值不等式应用(技巧)一.均值不等式2222ab1.(1)若a,bR,则ab2ab(2)若a,bR,则ab(当且仅当ab时取“=”)2*ab*2.(1)若a,bR,则ab(2)若a,bR,则ab2ab(当且仅当ab时取“=”)22*ab(3)若a,bR,则ab(当且仅当ab时取“=”)222ab2ab3.若a,bR,则()(当且仅当ab时取“=”)22114.若x0,则x2(当且仅当x1时取“=”);若x0,则x2(当且仅当x1时取“=”)xx111

2、若x0,则x2即x2或x-2(当且仅当ab时取“=”)xxxab5.若ab0,则2(当且仅当ab时取“=”)baababab若ab0,则2即2或-2(当且仅当ab时取“=”)bababa注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一:求最值例1:求下列函数的

3、值域211(1)y=3x+2(2)y=x+2xx解题技巧:技巧一:凑项51例1:已知x,求函数yx42的最大值。445x技巧二:凑系数例1.当时,求yx(82)x的最大值。3变式:设0x,求函数y4x(32x)的最大值。21技巧三:分离2xx710例3.求yx(1)的值域。x1技巧四:换元22(t1)7(t1+10)t5t44yt=5ttta技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数fx()x的单调性。x2x5例:求函数y的值域。2x42

4、x25112解:令x4tt(2),则yx4t(t2)x24x24t11因tt0,1,但t解得t1不在区间2,,故等号不成立,考虑单调性。tt15因为yt在区间1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y。t25所以,所求函数的值域为,。2练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x的值.21xx311(1)yx,(0)(2)y2x,x3(3)y2sinx,x(0,)xx3sinx应用二:条件最值ab1.若实数满

5、足ab2,则33的最小值是.ab分析:“和”到“积”是一个缩小的过程,而且33定值,因此考虑利用均值定理求最小值,abababab解:3和3都是正数,33≥233236ababab当33时等号成立,由ab2及33得ab1即当ab1时,33的最小值是6.11变式:若logxylog2,求的最小值.并求x,y的值44xy2技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。192:已知xy0,0,且1,求xy的最小值。xyx,yR且2xy

6、1,求11变式:(1)若的最小值xya,b,x,yRab(2)已知且1,求xy的最小值xy22y2技巧七、已知x,y为正实数,且x+=1,求x1+y的最大值.222a+b分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。22222121+y1y同时还应化简1+y中y前面的系数为,x1+y=x2·=2x·+222221y下面将x,+分别看成两个因式:222221y22y12x+(+)x++21y2222321y3x·+≤==即x1+y=2·x+≤2222242241技巧八:已知a,b为正实数,2b+ab+a=3

7、0,求函数y=的最小值.ab分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。230-2b30-2b-2b+30b法一:a=,ab=·b=b+1b+1b+1由a>0得,0<b<152-2t+34t-31161616令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2t·=8tttt

8、1∴ab≤18∴y≥当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。18法二:由已知得:30-ab=a+2b∵a+2b≥22ab∴30-ab≥22ab2令u=ab则u+22u-30≤0,-52≤u≤321∴ab≤32,ab≤18,∴y≥18ab点评:①本题考查不等式ab(

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