基础概念基础概念基础概念基础概念

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1A基礎概念定義A-1定義與定理
定義就是遊戲規則，我們一定要訂一些遊戲規則，遊戲才玩得下去。同樣地，數學也是要先訂一些遊戲規則，我們才玩得下去。定義並不需要證明。定理都是從定義逐步推導而得，它是一種無法改變的事實，不是誰說了就算。只要大家遵守遊戲規則(定義)，所得到的結果都會是一樣的。定理需要證明。範例A-1(1)我們打籃球定義在罰球線上跳投，投中一球，可得2分，這是我們人給它規定的，沒有為什麼，我們也可以定義在罰球線上跳投，投中一球，可得5分。(2)如果我們定義從在罰球線上跳投，投中一球，可得5分。那麼在罰球線上跳球，投中兩球可得10分，這就是定理，因為它是由定義而來的，我們不可能得10分以外的答案。A.1集合定定定義定義義義A.1-1集合、、、元素、元素具有某一定特性的東西，我們把它們全部收集起來，就構成一個集合.而集合裡面的東西就稱為元素.集合通常用大寫的英文字母來表示，如A、B、C、
.集合裡的元素通常用小寫的英文字母來表示，如a、b、c、
.任取一個東西，則這個東西可能是某一集合的元素，也可能不是某一集合的元素。如果一個東西a是某一集合A的元素，我們說a屬於A,記作a∈A;如果一個東西a不是某一集合A的元素，我們說a不屬於A,記作a∉A.定義A.1-2集合的數學表示法
列舉法:將元素全部寫出。如{2,4,6},{1,4,9}.描述法:用|來分隔，在|的右邊寫出要收集的條件，在|的左邊寫出要收集的東西。2{xx|=2,y其中y∈1,2,3},{xx|=y,其中y∈1,2,3},{3|xx∈1,2,3}.註: 2A基礎概念A.1集合2{xx|=2,y其中y∈1,2,3}其實就是{2,4,6},而{xx|=y,其中y∈1,2,3}其實就是{1,4,9}.22{xx|=y,其中y∈1,2,3}也可寫成{x|x=1,2,3}.≡{xx|為自然數}={1,2,3,4,
};≡{xx|為整數}={
,2,1,0,1,2,−−
};b≡{xx|為有理數}=|,ab∈,且a≠0;≡{xx|為實數}={x|為有理數或無理數}a特殊的集合表示法:(1){xa|≤≤xb,其中abx,,∈}=[ab,],稱為閉區間。abx(2){xa|<≤xb,其中abx,,∈}=(ab,],左半開區間。abx(3){xa|≤b,a=b,ab,b>c,則a>c.a>⇔+>+bacbc.c>0,且a>b⇒ac>bc.c<0,且a>b⇒acbc<.a>b⇒ab−>0⇒cab(−)>0⇒cacb−>0⇒ac>bc;∵我們知道正正得正a>b⇒ab−>0⇒cab(−)<0⇒cacb−<0⇒aca且c>a,則bc>a,與已知矛盾，∴b、c中至少有一者小於或等於a.∵a不是質數，∴a可寫成a=bc,其中b、c皆為大於1的整數且b、c都是質數，而由
知b、c中至少有一者小於或等於a,故得證。技巧B.1.2-2判斷某數是否為質數 B40數與坐標系B.1自然數及整數如果想要判斷一數a是否為質數，我們就是用質數2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,
,一直到小於或等於a的最大質數來除a看看，如果a都不能被他們整除，則a就是質數。
為什麼要用質數下去檢驗，而不必用4,6,9等數下去檢驗呢?∵如果a不能被2整除，則a必不能讓4整除，∴檢驗了2等於檢驗了4。同樣的道理，如果a不能被3整除，則a必不能讓9整除，∴檢驗了3等於檢驗了9.為什麼檢驗到小於或等於a的最大質數即可?∵對稱的觀念，例如:把15分解，得15=×35.範例B.1.2-2下列何者為質數?(A)297(B)293(C)291(D)287(E)283.[93.中一中]2注意17=289,∴這題大約用2,3,5,7,11,13,17去判斷是不是質數即可。而(A)(C)有因數3,(D)有因數7,∴(B)(E)是質數。1171註:教學影片這一段有補充一種解a的技巧,例:2'9727171971898類題已知1521是一個正整數，求此正整數。[95.指考數乙]339315'21699⇒1521=39.6216210類題下列何數為質數?(A)157(B)211(C)239(D)373(E)559.[93.彰中]用1,3,5,7,11,13,17,19,23,29下去檢驗得(A)(B)(C)(D)是質數，而559可被13整除。範例B.1.2-3 B.3.3直線的斜率97已知A(1,2),(5,3),B直線Ly:=mx(−2);若直線L與AB相交,則m的範圍為?[95.明倫]03−02−L必過點(2,0),m≥=1或m≤=−2.25−21−yBAx0類題設一直線L的y截距為−2,且直線L與x軸、y軸圍成的三角形面積為3,則直線L的斜率為?[96.南女中]22L交x軸於(3,0)或(−3,0),∴L的斜率為或−.33B.3.4直線方程式定理B.3.4-1點斜式已知直線L過一點(xy,)且斜率m,則直線L的方程式是y−y=mxx(−).1111y−y1假設直線L上的任意點坐標為(xy,),則=m⇒y−y=mxx(−).11xx−1範例B.3.4-1通過(3,－2)且斜率為−5的直線方程式為____.[95.北一女]y+=−25(x−3)⇒y=−5x+13.範例B.3.4-2
求過(3,2)且平行2x−+=y60的直線方程式。 B98數與坐標系B.3平面坐標求過(−1,4)且垂直3x−2y−=50的直線方程式。2210
y−=22(x−3)⇒y=2x−4.y−=−4(x+1)⇒y=−x+.333定理B.3.4-2斜截式已知直線L的斜率m,而y方向的截距是b,則這個直線的方程式是y=mxb+.由題意知，直線L通過(0,b),∴由點斜式得yb−=mx(−0)⇒y=mxb+.範例B.3.4-3y截距是13且斜率為−5的直線方程式為____.y=−5x+13.範例B.3.4-4若直線L:ax−6y=5a−3與直線L2:x+(a−)7y=29−7a重合，則a=__.[95.明倫]12∵重合，ax−6y−(5a−3L)=k2x+(a−7)y−(297−a),2a=2k
132∴−=6(a−7)k
2，由⇒−=6(2k−7)k⇒2k−7k+=60⇒k=,2;25a−=3(297−ak)
3361
若k=,代入1或3得a=3;若k=2,代入1得a=4，但代入3得a=,∴219不合。事實A、B、C三點共線⇔m=m.ABBCy−yy−y2132(⇒)若m≠m⇒≠,ABBCx−xx−x2132y−yy−y1232而L:y−x=(xx−)、L:y−x=(xx−)AB22BC22x−xx−x1232 B124數與坐標系B.4複數定義B.4-7虛虛虛數不能比大小虛數不能比大小虛數不能比大小，例如
100300+i與34+i不能說誰大誰小。300i與2i不能說誰大誰小。範例B.4-6下列何者敘述正確?(A)3i>5i(B)4i>3i(C)(53+i)−(23+i)>0(D)a×b=ab(E)(53+i)>(23+i)[95.北一女]虛數不能比大小。(C)對，∵(53+i)−(23+i)=>30.(D)錯，例如−×−=232i×3i=−6≠(−2)(−3).(E)錯。類題下列敘述何者不一定正確?(A)若ab−>0，則a>b(B)若a>b，則ab−>0(C)若p2為質數且pa|,則pa|(D)若ab×>0且ab+<0,則a<0,b<0(E)Z=+abi,則其共軛複數Z=−abi[95.北一女](A)X,例如a=+32i,b=+22i,則a、b不能比大小。(B)O;(C)X,例如P=3,a=3.(D)X,例如a=−+23,ib=−−23i.(E)X,Z=abi−.定理B.4-822
若a、b∈,a+b=0,則a==b0.22若z、z∈,z+z=0,則z=z=0不一定成立。12121222
若a、b其中有一個不是0,則a+b>0矛盾∴a==b0.例如z=1,z=i.12範例B.4-7222abc,,∈,a+b+c=0,則a、b、c均為0?[91.中一中]X,例如a=1,b=i,c=0. 125範例B.4-82已知a∈且(aii+)∈,則a=?22222(aii+)=ia(+2ai−1)=ai−2ai−=−2a+(a−1)i∈⇒a−=10⇒a=±1.類題2若虛數1−i是方程式x+ax+−=3i0的一根，求a的值為____.[95.中一中]22將1−i代入x+ax+−=3i0得(1−i)+a(1−i)+−=3i0⇒a+−3(a+3)i=0⇒a=−3.類題2設ab,∈,虛數1+i是方程式x+ax++2bi=0的一根,則數對(a,b)=__.[95.明倫]2(1+i)+a(1+i)++2bi=0⇒2ia+(1+i)++2bi=0a+=20a=−2⇒a++2(2++abi)=0⇒⇒2++=ab0b=0範例B.4-9求34−i的平方根。2此題即求z=−34i之z.令z=+abi,其中a、b∈,則22222a−b=3
1(abi+)=−34i⇒a−b+2abi=−34i⇒2ab=−4
2224422由2得b=−
3,將3代入1得a−=3⇒a−3a−=40⇒a=4,1−,2aa2但a∈,∴a=−1不合⇒a=4才對⇒a=±2.
a=2代入3得b=−1;a=−2代入3得b=1.∴34−i的平方根是2−i或−+2i類題設z=158−i，則z的平方根=___.[95.北一女]22Z=158−i=(4−i)或(−+4i)⇒z=−4i或−+4i. B138數與坐標系B.4複數類題求i的兩平方根在複數平面上所對應的兩點的距離_____.[91.中一中]11a2−b2=0a=,b=或22222令i=(abi+)⇒i=(a−b)+2abi⇒1⇒ab=112a=−,b=−221111∴i的兩平方根為+i,−−i,2222221111∴這兩點在複數平面的距離是+++=2.2222B.4.2一元二次方程式定理B.4.2-1一元二次方程式的公式解或根22−±bb−4acax+bxc+=0，其中a,b,c∈，則x=.2a這個式子叫作一元二次方程式的公式解或根2bcx+x+=0⇒aa2222222bbbcbbcbb−4acx+x+−+=0⇒x+−+=0⇒x+=2222a4a4aa2a4aa2a4a222bb−4acbb−4ac−±bb−4ac⇒x+=±⇒x+=±⇒x=.22a4a2a2a2a2−±41612−−±421例例例:例:::
3x+4x+=10的解為x===−,1−;6632−±3916+−±3512x+3x−=20的解為x===,2−.442範例B.4.2-12求方程式x−5x+(7−i)=0之解。[89.中一中] 151C數列與級數定義C-1數列將一系列的數由左往右列出來就是一個數列;每一個數，都稱為這個數列的項，第一項又稱為首項，最後一項又稱為末項。例例例:例:::
2,3,7,6,3,5,
.4,3,6,8,7,9,10
.有的數列是有規律可循的，但有些數列是沒有規律可循的。例例例:例:::1,3,4,6,3,5,
看不出規律性;3,5,7,9,
有規律性，即後項比前項多2;4,8,16,32,
有規律性，即後項是前項的2倍;定義C-2數列的簡寫法我們可用a來表示第n項為a的數列:nn例:23nn
2,4,6,
,2n,
可簡寫為2n.3,3,3,
,3,
可簡寫為3.11111n+1n+1,,,
,,
可簡寫為.1,1,1,1,1,1,−−−
,(−1)可簡寫為(−1).123nn11+21+31+41+n+1,,,,
可簡寫為.333331234n範例C-1an數列中，若a=1,a=(n≥1),試寫出前幾項並觀察規律後，n1n+1a+1n1201n判斷下列敘述何者正確?(A)a=(B)a=(C)a=(D)a=(E)420100n421100n+1lima=0.[94.松山]nn→∞ C152數列與級數11a1a21a311123a==,a===,a===,
,a=.234na+12a+113a+114n12+13+123∴(A)(C)(E).定義C-3有限數列、、、無窮數列、無窮數列如果一個數列的項是有限個，則這個數列就稱為有限數列;如果一個數列的項是無限個，則這個數列就稱為無窮數列。例例例:例:::
2,3,5,4,3,8是有限數列;4,8,16,32,
,256是有限數列;2,3,7,6,3,5,
是無窮數列;3,5,7,9,
是無窮數列;3,5,7,9,
,17是有限數列。246+++
+2n是有限數列，∵總共有n項。例例例:例:::日常生活中的數列問題:計程車在路程1公里內都算70元。但路程超過1公里的話，每超過300公尺加收5元。所以車資表是:70,75,80,85,90,95,
定義C-4級數將數列中的各項全加起來就稱為一個級數。例例例:例:::下列皆是級數:1+3+4+6+3+5+
;3+5+7+9+
;1+3+4+6+3+5;3+5+7+9+
+17.定義C-5有限級數、、、無窮級數、無窮級數如果一個級數的項是有限個，則這個級數就稱為有限級數;如果一個級數的項是無限個，則這個級數就稱為無窮級數。例例例:例:::
下列皆是有限級數:(1)1+3+4+6+3+5;(2)3+5+7+9+
+17.下列皆是無窮級數:(1)1+3+4+6+3+5+
;(2)3+5+7+9+
.定義C-6級數的簡寫法k
有限級數∑an表示將數列由第1項加到第k項。n=1∞無窮級數∑an表示將數列由第1項加到第∞項。n=1 161C.2等比數列與級數定義C.2-1等比數列、、、公比、公比、、、等比級數、等比級數(幾何級數)在數列中，如果任一項與前項的比值都相等，則這個數列就是等比數列，這個比值就稱為公比，這個數列所成的級數就稱為等比級數(或幾何級數)。註:等比數列也有人稱呼她為GP數列。例例例:例:::23n
3,3,3,
,3,
是等比數列，公比是3.n+11,1,1,1,1,1,−−−
,(−1)是等比數列，公比是−1.定理C.2-1等比數列的第n項項項n−1如果一個等比數列的首項是a,公比是r,則這個數列的第n項是a=ar.nk−1k−1ka=a成立;假設a=ar成立，則a=ar=(ar)r=ar,1kk+1k根據數學歸納法得證。範例C.2-1如果一個等比數列的首項是3,公比是2,則這個等比數列的第6項是____,第8項是____,第100項是____.61−81−1001−99a=⋅32=96,a=⋅32=384,a=⋅32=⋅32.68100定理C.2-2等比數列的和na(1−r)若一個等比數列的首項是a,公比是r,則這個數列的前n項之和S=.n1−rna(1−r)2n−12n−1Sn=+aar+ar+
+ar=a(1++rr+
+r)=.n2n−11−r∵1−r=−(1r)(1++rr+
+r) C162數列與級數C.2等比數列與級數範例C.2-2若一個等比數列的首項是3,公比是2,則這個數列的前5項之和為___,前8項之和為____,前n項之和為___.58n312(−)312(−)312(−)S==93,S==765,S=.58n(12−)(12−)(12−)範例C.2-3已知一等比數列的首項是4,末項是972,和是1456,求這個等比數列的項數。n−1972=4r
1假設項數是n,由題意知首項a=4⇒41(−rn)1456=
21−rn−1n41243(−r)由1得r=243⇒r=243r代入2得1456=⇒r=3代入1得1−rn−12433=⇒n=6.範例C.2-4已知四個正數a,b,c,d成等比，ab+=6,cd+=96,求其公比r.aar+=62⇒r=16⇒r=±4(負不合，∵題目說正數)⇒r=4.23ar+ar=96兩式相除定義C.2-2幾何平均數(等比中項)已知a、b、c三者成等比，則b稱為a與c的幾何平均數或等比中項，且b=±ac.bc2註:=⇒b=ac⇒b=±ac.ab範例C.2-5已知a,x,y,b成等差，而c,x,y,d,e成等比。試以a,b來表示e. 169−na(1r)40=
13nnn2n1−ra(1−r)a(1−r)(1+r+r),而S3n==
3.a(1−r2n)1−r1−r64=
21−r27a1−2n2641−r64nn312598a由得=⇒=+1r⇒r=
4代入3得S==⋅
5n3n1401−r4051−r1251−r3a1−5a98392而4代入1得40=⇒=100代回5得S=⋅100=.3n1−r1−r1255類題已知aaa,,為一等差數列，而bbb,,為一等比數列，且此六數皆為實數。試問下列哪些123123選項是正確的?(A)aa可能同時成立(B)bb可能同時成立12231223(C)若a+a<0,則a+a<0(D)若bb<0,則bb<0(E)若b,b,b皆為正整數且12231223123b1,則此數列發散。n−1

如果r=1,則lima()1=a⇒此數列收斂;n→∞n−1如果−<<1r1,則limar=0⇒此數列收斂。n→∞n−1n−11如果r=−1,則lima(−1)會在+a與−a之間振盪，∴lima(−1)不存在n→∞n→∞⇒此數列發散;n−12如果r<−1或r>1,則limar不存在⇒此數列發散。n→∞類題nnnn101992+3下列無窮數列，何者為收斂?(A)3,3,3,3,
(B)(C)(D)n1001006n(E)(−1)[90.松山](A)(C)(D).技巧C.5-1nn2+5n
分子、分母都只要看最大的項即可，例如lim只要看分子的最大項5及分母的nnn→∞3+⋅65n2+1nnn2+55165⋅.∴lim=lim=.nnnn→∞3+⋅65n→∞36+65∞−∞必須先通分，再判斷極限。例例例:例:::nnnnnn12+32323
lim=0;lim=lim+=lim+lim=+=000.nnn→∞3n→∞5n→∞55n→∞5n→∞5nn23+1+2nnnn2+5501+3+⋅2552lim=lim==1.lim=lim=.nnnnnnn→∞3+5nn→∞301+n→∞4+⋅75n→∞47分子、分母同除以5+1+7553361+2+n+3n13n+63n+6nn20lim=lim=.lim不存在。lim=lim==0.2n→∞4n+2n→∞24n→∞5n+2n→∞5n+2n→∞254+5+2nn 2098a=31=+bc225⇒x+ax+=3(bcx+)+(2bcxb+)+−2c⇒a=2bc+⇒b=比較同次項係數33=−b2c2c=−3類題2多項式3x−2x+7=a(x+1)(x−2)+b(x−2)(x+3)+c(x+1)(x+3),則數對(a,b,c)=。[95.松山]作作法作法1.222ax(+1)(x−2)+bx(−2)(x+3)+cx(+1)(x+3)=ax(−−x2)+bx(+−x6)+cx(+4x+3)2=(abcx++)+−++(ab4cx)+−(2a−6b+3c)abc++=32和3x−2x+7比較係數得−++ab4c=−2⇒a=4,b=−2,c=1.−2a−6b+3c=7作法2.代x=−1327得++=−(32)ba=4代x=−1得代x=21247得−+=⋅35c⇒b=−2代x=−3得2767++=−(2)(−5)ac=1定理D.1-3已知fx()的次數小於或等於n次，如果可找到n+1個不同的x值代入fx()使得f=0,則fx()=0.nn−1令fx()=ax+ax+
+axa+
1,α、α、
、α、α皆為相異值，使得nn−11012nn+1f(α1)=f(α2)=
=f(αn)=f(αn+1)=0
2.
由12知可令fx()=a(x−α)(x−α)
(x−α),n12n代入x=α可得n+1f(αn+1)=an(αn+1−α1)(αn+1−α2)
(αn+1−αn)=0,但α異於α、α、
、α,∴(α−α)(α−α)
(α−α)≠0⇒a=0.n+112nn+11n+12n+1nnn−1既然已知a=0,∴1可化簡為fx()=ax+
+axa+
1′nn−110由1′2知可令fx()=a(x−α)(x−α)
(x−α)(x−α),n−112n−2n−1代入x=α可得n D210多項式D.1多項式的運算f(αn)=an−1(αn−α1)(αn−α2)
(αn−αn−2)(αn−αn−1)=0,但α異於α、α、
、α,∴(α−α)(α−α)
(α−α)(α−α)≠0⇒a=0.n12n−1n1n2nn−2nn−1n−1同理可得a=a=
=a=a=a=0⇒fx()=0.n−2n−3210範例D.1-9已知fx()是二次多項式，且f(2)=f(3)=f(−1)=0,求fx().作法1.4a+2bc+=02令fx()=ax+bxc+,則9a+3bc+=0⇒a===bc0,∴fx()=0.abc−+=0作法2.令fx()=ax(−2)(x−3)⇒f(−1)==⋅−0a(3)(−4)⇒a=0,∴fx()=0.定理D.1-4已知fx()、gx()的次數皆小於或等於n次，如果可找到n+1個不同的x值代入fx()、gx()，使得f=g,則fx()=gx().nn−1nn−1令fx()=ax+ax+
+axa+,gx()=bx+bx+
+bxb+
1,nn−110nn−110α、α、
、α、α皆為相異值，使得f(α)=g(α)、f(α)=g(α)、
、12nn+11122f(αn)=g(αn)、f(αn+1)=g(αn+1)
2.令hx()=fx()−gx()
3,由1知hx()次數不超過n次，由2知h(α1)=h(α2)=
=h(αn)=h(αn+1)=0,∴由上個定理知hx()=0⇒fx()=gx().代回3範例D.1-102fx()=(ax−1)+3(xb−)(xc−),且f(1)=2,f(0)=1,f(−1)=6,試求出fx().2fx()=(ax−1)+3(xb−)(xc−)這一段話是在嚇你的，其實它只是想告訴你，fx()是二次式。2∵fx()為二次式，∴可假設fx()=Ax+BxC+f(1)=2=ABC++A=32⇒f()0==1C⇒B=−2⇒fx()=3x−2x+1.f(−1)==6ABC−+C=1 D222多項式D.1多項式的運算定理D.1.1-1餘式定理多項式fx()除以x−α的餘式是f(α).由除法原理知恰有兩個多項式qx()及rx()，使得fx()=qx()⋅(x−α)+rx(),其中rx()=0或degrx()7(D)p<3(E)p>2[94.中一中]x=±1⇒r=±1⇒r=1.2g(1)=−+=1q70⇒q=8,gx()=x−8x+=7(x−1)(x−7),f(1)==−+015p+2⇒p=2(A)O;(B)O;(C)O;(D)O;(E)X.技巧D.1.4-3求最大公因式式式的方法式的方法3.利用定理D.1.4-1若dx()|fx()且dx()|gx(),則dxmxfx()|()()−nxgx()(),其中fx(),gx(),mx(),nx()皆為多項式。範例D.1.4-34922492472
求x+2x−1除以x−1的餘式;求x+2x−1與x+2x−1的最高公因式。[95.中一中]2424922
將x=1代入x+2x−1得(x)⋅+⋅−=+x211x1. D.1.5最低公倍式251定義D.2-1多項函數nn−1n次多項式fx()=ax+ax+
+axa+可以看成是一個函數，這種函數就叫作n次nn−110函數，統稱為多項函數。例:
當n=0時，fx()=a稱為零次函數(又稱為常數函數);0當n=1時，fx()=axa+稱為一次函數(又稱為線線性線性性函數性函數);102當n=2時，fx()=ax+axa+稱為二次函數;21032當n=3時，fx()=ax+ax+axa+稱為三次函數。3210例例例:例:::常數函數、一次函數、二次函數都是多項函數。例例例:例:::2332
fx()=3,fx()=2x−3,fx()=3x−2x+4,fx()=8x+3,fx()=6x+2x−−x82都是多項函數。其中fx()=3是常數函數;fx()=2x−3是線性函數;fx()=3x−2x+4332是二次函數;fx()=8x+3,fx()=6x+2x−−x8都是三次函數。−2xfx()=x+3x+2,fx()=3,fx()=sinx都不是多項函數，因為它們都不可化為多項式的型式。D.2.1線性函數定義D.2.1-1線性函數線性函數:y=axb+,(其中a,b∈,且a≠0).範例D.2.1-1數學科月考完後，班上最高分的同學是50分，最低分的同學是10分，老師事後檢討，覺得題目的確出得太難了，因此決定放寬標準，想用線性函數的關係，把最高分的同學調為90分，最低分的同學調為40分:
求此線性函數。如果小明本來考40分，則調整後的分數是多少?5a=90=50ab+4555
令此線性函數為fx()=axb+,則⇒⇒fx()=x+.4010=ab+b=55422 D.2.2二次函數255結論D.2.2-12
當a>0,y=ax開口向上;2當a<0,y=ax開口向下;2當a越大,y=ax的開口越小;2y=ax,均以(0,0)為頂點，且以y軸為對稱軸。例例例:例:::
(3,4)對於x軸的對稱點是(3,4−).(3,4)對於y軸的對稱點是(−3,4).(3,4)對於x−=20的對稱點是(1,4).(3,4)對於y+=10軸的對稱點是(3,6−).範例D.2.2-122證明y=x與y=−x對稱於x軸。222
在y=x上，任意找一點(xx,)，則這一點對於x軸的對稱點是(x,−x),而這一點在11112y=−x上。222在y=−x上，任意找一點(x,−x)，則這一點對於x軸的對稱點是(xx,),而這一點22222在y=x上。綜合
得證。類題2證明:y=ax是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形。222在y=ax任意找一點(xax,)，則這一點對於y軸的對稱點是(−xax,),而這一點在也11112在y=ax上。技巧D.2.2-1圖形的平移已知a,,hk∈,則22
y=axh(−)的圖形，是把y=ax的圖形右移h的距離。22y=axh(+)的圖形，是把y=ax的圖形左移h的距離。22yk−=ax的圖形，是把y=ax的圖形上移k的距離。22yk+=ax的圖形，是把y=ax的圖形下移k的距離。 D256多項式D.2多項函數222
在y=ax任意找一點(xax,)，把這一點往右移h的距離得(x+hax,)而這一點是在11112y=axh(−).222在y=ax任意找一點(xax,)，把這一點往上移k的距離得(xax,+k)而這一點是在11112yk−=ax.22例例例:例:::y=4(x−3)就是把y=4x的圖形往右移3.2y=4xy21012x例例例:例:::22y=3x+5就是把y=3x的圖形往上移5.22例例例:例:::y=3(x−4)+7就是把y=3x的圖形往右移4,再往上移7.範例D.2.2-22將拋物線y=x的圖形，往水平左移3單位，再鉛直上移5單位，可得新的函數2y=ax+bxc+,則常數abc−+的值=_____.[94.大理]22y−=5(x+3)⇒y=x+6x+14⇒a=1,b=6,c=14⇒abc−+=9.技巧D.2.2-2圖形的平移的推廣已知hk,∈,則
y=fxh(−)的圖形，是把y=fx()的圖形右移h的距離。y=fxh(+)的圖形，是把y=fx()的圖形左移h的距離。yk−=fx()的圖形，是把y=fx()的圖形上移k的距離。yk+=fx()的圖形，是把y=fx()的圖形下移k的距離。 D.2.2二次函數2611a=6c=1125將y=ax+bxc+,三點代入得25a+5b+1111=⇒b=−636a+6b+1112=c=11125⇒fx()=x−x+11⇒f(−6)=++651122=.66定義D.2.2-2拋物線二次函數的圖形，我們就稱為拋物線。D.2.3二次函數的極值技巧D.2.3-1二次函數的極值值值2
當a>0,y=axh(−)+k開口向上，∴它有最小值，最小值就是發生在頂點(hk,);2當a<0,y=axh(−)+k開口向下，∴它有最大值，最大值就是發生在頂點(hk,)範例D.2.3-12函數fx()=2x+4x+5的最小值為_____.[93.北一女]222fx()=2x+4x+=52(x+2x+1)+=32(x+1)+3⇒最小值3.範例D.2.3-22二次實係數多項式fx()=ax+bx−3在x=1時，fx()有最小值−5,則常數ab−=?[94.大理]22222bbbbbfx()=ax+x+−−=3ax+−−3,2a4a4a2a4ab−=12aa=2⇒⇒ab−=6.2−b−=−b=−4354a D.3.1實係數多項方程式的代數基本定理、、、虛根、虛根成對定理273zz1⋅2=(abi+)⋅(cdi+)=(abicdi−)(−)=(acbd−)(−ad+bci),綜合以上得zz⋅=zz⋅.1212定理D.3.1-4nnz=(z),其中n∈.令z=+abi,其中ab,∈.11n=1時，z=+abi=−abi=(z)成立。kkk+1kk+1kk假設當n=k時，z=(z)成立，則當n=+k1時，z=z⋅=zz⋅=z(z)⋅=z(z).∴根據數學歸納法得證。定理D.3.1-5虛根定理nn−1若fz()=az+az+
+aza+是一個實係數多項式，z是複數，則fz()=fz().nn−110nn−1nn−1nn−1fz()=azn+an−1z+
+aza1+0=azn+an−1z+
+aza1+0=azn+an−1z+
+aza1+0nn−1nn−1=azn+an−1z+
+aza1+0=an(z)+an−1(z)+
+az1()+a0=fz().範例D.3.1-2已知fx()是實係數多項式，且f(25−i)=+34i,求f(25+i)=?f(25+i)=f(25−i)=f(25−i)=+34i=−34i.定理D.3.1-6“““實係數方程式的“實係數方程式的虛根”””必成對出現”必成對出現已知fx()是實係數多項式，而z是虛數，若z是fx()的一根，則z也是fx()的一根。∵z是fx()的一根，∴fz()=0⇒fz()=0⇒fz()=0⇒fz()=0，∴z也是fx()的一根。範例D.3.1-3 D274多項式D.3多項方程式若fx()是實係數多項式，且f(32+i)=0,則f(32−i)=?f(32−i)=0.範例D.3.1-4造一個含有根4,32−i的最低次數的實係數方程式。32+i必是第三個根⇒(x−4)x−(32+i)x−(32−i)=0⇒(x−4)(x−3)−2i(x−3)+2i=02232⇒(x−4)(x−3)+4=0⇒(x−4)(x−6x+13)=0⇒x−10x+37x−52=0.推論若fx()是一個實係數多項式，則其虛根的個數是偶數個。定理D.3.1-7
若fx()是一個奇數次的實係數多項式，則其虛根的個數是偶數個，實根個數是奇數個;若fx()是一個偶數次的實係數多項式，則其虛根的個數是偶數個，實根個數是偶數個。定理D.3.1-8“““有理係數方程式的含平方根“有理係數方程式的含平方根的無理數”””必成對出現”必成對出現已知fx()是一個有理係數多項式，ab,∈,b≠0,t是無理數。若abt+是fx()的一根，則abt−也是fx()的一根。令gx()=x−(abt+)x−(abt−),fx()=gxqx()()+cxd+
1,其中cd,∈,則cad+=0d=0fabt(+)==0cabt(+)+d⇒⇒代回1得利用定理B.4.2cbt=0∵bt,≠0c=0fx()=gxqx()()⇒fabt(−)=⋅0qabt(−)=0⇒abt−也是fx()的一根。範例D.3.1-532已知13−i是實係數方程式x+ax+bx−60=0的一根，則此方程式的實根為____.[94.大理] D.3.2根根根與係數的關係根與係數的關係283a−b(1+1+n)−(1−1+n)21+nnnlim=lim=lim=2,∴選(A)(B)(D)(E).n→∞nn→∞nn→∞n定理D.3.2-2根根根與係數的關係根與係數的關係32ax+bx+cxd+=0,其中a,b,c,d∈,且a≠0.假設其三根各為α,β,γ,則bcd
α+β+γ=−;αβ+βγ+γα=;αβγ=−.aaa2∵α,β,γ是兩根，∴(x−α)(x−β)(x−γ)=0⇒x−(α+β)x+αβ(x−γ)=0322⇒x−(α+β)x+αβx−γx+γα(+β)x−αβγ=032⇒x−(α+β+γ)x+(αβ+βγ+γα)x−αβγ=0bcd和原式比較可得
α+β+γ=−;αβ+βγ+γα=;αβγ=−.aaa定理D.3.2-3常用公式2222
α+β+γ=(α+β+γ)−2(αβ+βγ+γα);2222222αβ+βγ+γα=(αβ+βγ+γα)−2αβγα(+β+γ);333222α+β+γ=(α+β+γ)(α+β+γ−αβ−βγ−γα)+3αβγ;2222222αβ+βγ+γα=(αβ+βγ+γα)−2αβγα(+β+γ).範例D.3.2-1321112224x−5x+2x+=30的三根各為αβγ,,,則
++=?;α+β+γ=?αβγ111111111++=?(β+γ)(γ+αα)(+β)=?α++β++γ+=?222αβγβγγααβ222α(β+γ)+β(γ+α)+γ(α+β)=?513α+β+γ=,αβ+βγ+γα=,αβγ=−,4241111αβ+βγ+γα22
++===−;αβγαβγ33−42222259α+β+γ=(α+β+γ)−2(αβ+βγ+γα)=−=1;1616 D.3.2根根根與係數的關係根與係數的關係287α+β+γ=2α+2β1=2
122∴αβ+βγ+γα=−i⇒β+β+2αβ=−i
2將13代入2得121αβγ=−iaαβ(2+β2)=−ia
312ia−ai+α(2−α)=−i⇒−+α(2−α)+=−i又a、α∈,∴比較實部和虛部可得αααα=1,a=3.範例D.3.2-5虛數係數而有實數解(複習)2設a∈,若方程式x+(2aix−)+(42+i)=0有實根，則a=?[92.中一中]22假設有一實根α,即α+(2ai−)α+(42+i)=0⇒(α+2aα+4)+(2−α)i=02α+2aα+=40α=2⇒⇒.2−α=0a=−2範例D.3.2-6432設a、b∈，方程式x2x+ax+bx+15=0有四個相異有理根，則其最大根為.[95.松山]x=±±±±1,3,5,15,四根相乘要等於15,∴x=±1,3,5−或x=±−1,3,5.又四根相加要等於2,∴只有x=±−1,3,5這一組才對。∴最大根是5.D.3.3勘根定理定理D.3.3-1多項函數的中間值定理已知fx()是多項函數，若L的值介於fa()與fb()之間，則a與b之間必存在c，使得fc()=L.yx0我們已經知道一次函數的圖形是直線、二次函數的圖形是拋物線，現在我們來討論三次 D288多項式D.3多項方程式函數的圖形:3fx()=x.X−2−1.5−1011.52y=fx()−8−3.375−1013.3758y842012x−2−4為什麼我們以前在畫一次函數、二次函數或現在畫的三次函數，在描了一些點後，為何能用平滑的曲線把這些點連接起來，來得到函數的圖形呢?這是因為多項函數的中間值定理告訴我們的。定理D.3.3-2勘根定理已知fx()是實係數多項方程式，a、b∈。若fafb()()<0,則a、b之間至少有一個實根x=c，使得fc()=0.勘根定理只是中間值定理的L=0的特例而已。y(bfb,())0x(afa,())定理D.3.3-3nnn−1n−2n−2n−1a−b=(aba−)(+ab+
+ab+b).