立体几何专项训练

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立体几何专项训练1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；2.如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点.（1）求证：C1M⊥平面A1ABB1；（2）求证：A1B⊥AM；（3）求证：平面AMC1∥平面NB1C；.3.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．（1）证明：DN//平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD； 4.在四棱锥中，底面是菱形，，平面，点、分别为、的中点，．（I）证明：平面；（II）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F（1）、证明：PA∥平面DEB；（2）、证明：PB平面EFD；（3）、设PD=1，求DF的长。1.解：(1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC          的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA ⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE. (2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.1.又∵C1M平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1.又∵C1A1=C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.又A1B1∩A1A=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B. 方法二  由直棱柱性质得：平面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1=C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥平面AA1B1B.（2） 由（1）知C1M⊥平面A1ABB1，∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.∵AC1⊥A1B，MC1⊥A1B，MC1∩AC1=C1，∴A1B⊥平面AMC1，又AM平面AMC1，∴A1B⊥AM（3）. 由（1）知C1M⊥平面AA1B1B，A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理可证，A1B⊥平面B1NC.∴平面AMC1∥平面B1NC.2.因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ.（2）又因为底面ABCD是、边长为的菱形，且M为AD中点，所以.又所以.3.（Ⅰ）因为为菱形，所以，又，所以，又为中点，所以，而平面，平面，所以，又，所以平面（6分）（II）存在取中点，连结，，，因为，分别为、中点，所以且，又在菱形中，，，所以，，即是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，即在上存在一点，使得平面，（10分）此时．4.（1）连结AC交BD于O，由正方形ABCD得，O是AC的中点，又E是PC中点，∴EO∥PA，又PA 平面DEB，OE平面DEB，∴PA∥平面DEB。（2）侧棱PD底面ABCD，∴PD BC，底面ABCD是正方形∴CDBC，又PD∩CD=D，∴BC平面PCD，DE平面PCD，∴BCDE，又由PD=DC，E是PC的中点得，DEPC，而PC∩BC=C，∴DE平面PCB，则DEPB，又EFPB，DE∩EF=E，所以PB平面EFD。（3）由题意得DC=1，在正方形ABCD中，，由侧棱PD底面ABCD得PDBD，由PB平面EFD得PB平面DF。则，所以，。