第九章-振动学基础

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1、第九章振动学基础§9.1简谐振动一、简谐振动的动力学描述1、谐振动的受力特征谐振动的动力学定义：振动系统在与位移大小成正比，而方向相反的回复力作用下的运动称为简谐振动。f=-kx式中，k为比例系数。2、简谐振动的微分方程设振动物体的质量为m,根据牛顿第二定律有：d2x-kx=m——dt2d2xk八—+—x=0dvm令：3=则:今+吐=0dr二、简谐振动的运动学描述1、谐振动的数学表达式——运动方程根据微分方程理论dr的解为:X=Acos（Gf+0）谐振动的运动学定义：位移按余弦规律移随时间变化的运动是谐振动。v=一A⑵sin（血+0）a=-Ac

2、o2cos⑷+0）A、e为积分常数。【例】：若t=0时，X=Xq.V=v0,求A、巾。【解1E）"COS0v0=-Acosin孩0二V0x（）a）2、简谐振动的三个特征量（1）振幅由振动系统的能量决定表示振动物体离开平衡位置的最大距离。A27C692z1.1丁、2厂~（—kx2H—加茁）=〒E（）k2（）2°k°（2）角频率、频率、周期由振动系统的性质决定角频率：a）=周期：T=—CO（3）初和——由起始时刻的选取决定如在位移正最大值吋开始计吋，©二0在平衡位置处开始计时4二±兀/2例1、证明单摆的振动为谐振动，并求其振动周期。证明：fn

3、=T-mgcosO=0fT=一吨sin0当作微振动吋0很小fT=一故单摆的振动为谐振动，其振动微分方程为:—mg0=maT=>—mgO=mld20=>d~e+&&=（）角频率：3=f=-pgV'=-7TR2X(l-^pgJl周期：co-—=2/r—3g【例2】、半径为R的木球静止浮于小面上时，其体积的一半浸于水中，求(1)木球振动的微分方程，(2)木球在什么条件下作简谐振动，振动周期为多少？【解】：以平衡位置为坐标原点，当木球从平衡下移位移x时，浸入水中的体积增加：V'=f龙(/一兀2)厶=欣3(1一木球所受的合力：由牛顿第二定律：y2J2

4、_欣3(1———)pg=加—-3R2dr平衡位置时：心鼎尿P,故些即木球的运动微分方程。丫2当YR时，莎*d2x木球作简谐振动co=y)3g/2R,T三、简谐振动的旋转矢量表示1、旋转矢量作匀速率圆周运动的物体在圆周的任一直经上的投影点的运动，就是一简谐振动。绕固定点O以一定角速度3逆时针旋转的矢量称为旋转矢量。2、旋转矢量与谐振动的关系旋转矢量刁的端点在圆周的直经——x轴上的投影点的的运动为谐振动。振幅A——刁的模。角频率3——刁的角速度。位相31+e—a与x轴的夹角。X-ACOS（血+0）3、谐振动的位相（1）位相当A和3—定吋，简谐振动的

5、运动状态（位移、速度、加速度）完全由3t+e确定,称3t+e为简谐振动的位相。而t二o吋的相位e称为简谐振动的初相。如，若弹簧振子的位相为兀/2,则振动物体的运动情况是物体通过平衡位置且沿负方向运动（2）位相差设有两个谐振动Xj=A}COS（Gf+0］）x2=A2cos（ax+施）位相差：二（血+02）—（血+01）二02—0

6、）【例】：作谐振动的物体，其振幅为A,在起始时刻质点的位移为（1/2）A,且沿x轴正方向运动。画出代表该谐振动的旋转矢量图。四、简谐振动的能量作简谐振动的弹簧振子，其运动方程为：X=Acos（c/+0）动速度为：v=-A

7、esimg+0）动能和势能分别为：Ek=g加/=—692A2sin2（69f+^）分如2=扣2曲@+0）机械能为:―乞+肘扣宀如心2可见，弹簧振子的动能和势能按正弦或余弦的平方随吋间作周期性变化，当动能最大吋，势能最小；当动能最小吋，势能最大；但机械能保持恒定不变。【例】：如图，/=1.5加。求单摆左右两方振幅Z比。【解】：单摆的能量吨K宀如血2守恒,故A】_。2而:A2a）、火枳所以令嚼【例1:在弹簧下挂m（）=100g的法码吋，弹簧伸长&加o现在弹簧下挂m=250^的物体构成弹簧振子。把物体从平衡位置向下拉动4cm,并给以向上21cm/s的

8、初速度（此时开始计时），选X轴的止方向向下，求谐振子的运动方程。【解】：以平衡位置为坐标原点，设运动方程为：X=4COS（血+0）（1）求角频率3由胡克定律：=kxnk=“)g/x=2.25(N/in)CD=ytk/m=7(md/s)(2)由初始条件求a、eA+土二V0.042+0.22/7=0.05(加)VCDtg©=———=—=0.75=e=0.2龙，兀+0.2兀x(}co7x0.04因物体沿x轴负方向运动，由旋转矢量图，取:0=0.2龙（3）求运动方程x=0.05cos(7z4-0.2^),(5/)=0.05cos(2.25/+0.2^

9、),(5/)§9.2简谐振动的合成一、同振动方向、同频率的简谐振动的合成设在x方向有两个同频率的简谐振动：X,=4]COS（血+0]）兀2=A2COS