12 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1、1.2命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设集合A＝{x∈R

2、x－2＞0}，B＝{x∈R

3、x＜0}，C＝{x∈R

4、x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：A∪B＝{x∈R

5、x＜0或x＞2}，C＝{x∈R

6、x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．答案：C2．已知命题p：∃n∈N,2n＞1000，则綈p为(　　)．A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n＞1000C．∃n∈N,2n≤1000

7、D．∃n∈N,2n＜1000解析　特称命题的否定是全称命题．即p：∃x∈M，p(x)，则綈p：∀x∈M，綈p(x)．故选A.答案　A3．命题“若－1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是(　　)A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1B．若x2<1，则－11，则x>1或x<－1D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1解析：若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q则綈p”，故此命题的逆否命题是“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”．答案：D4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的(　　)．A．充

8、分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[来源:学科网ZXXK]解析　(特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin390°＝sin30°＝＜sin60°＝，故sinα＞sinβ不成立；当sinα＞sinβ时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要条件．答案　D【点评】本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般

9、性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效.[来源:Z+xx+k.Com][来源:学科网]5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：否命题是既否定题设

10、又否定结论．答案：B6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件[来源:学科网]C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案：A7．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)．A．必要而不

11、充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析　若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性．故选C.答案　C二、填空题8.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是______答案：9．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．其中真命题的个数为________(填序号)

12、．解析　(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．答案　110．定义：若对定义域D上的任意实数x都有f(x)＝0，则称函数f(x)为D上的零函数．根据以上定义，“f(x)是D上的零函数或g(x)是D上的零函数”为“f(x)与g(x)的积函数是D上的零函数”的________条件．解析　设D＝(－1,1)，f(x)＝g(x)＝显然F(x)＝f(x)·g(x)是定义域D上的零函数，但f(x)与g(x)都不是D上的零函数．答案　充分不必要11．p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“

13、a·b>0”的________条件．解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cosθ＝>0，即a·b>0；由a·b>0可得cosθ＝>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要12．已知a与b均为单位向量，其