§2-6函数的极大(小)值和最大(小)值

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1、§2-6函数的极大（小）值和最大（小）值1.函数的极大（小）值一个函数在它冇定义的区间上可能没冇圾大（小）值，但它在某个部分区间上可能会冇最大（小）值,即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数/（兀）在点x（）g（a,b）连续•若冇足够小的正数5,使b疋）X]图2-21fM/（x1）（O

2、1）则称函数/（兀）在点召取到极小值/（坷），并称点X］为函数/（x）的极小值点.函数的极人值和极小值统称为函数的极值，而函数的极人值点和极小值点统称为函数的极值点、•因为两数的极值是函数在小范围内的最人值或最小值，根据定理2-1,我们就有下面的结论：若函数/（X）在某区间内的点心处取到极值且有导数fx0）,则/z（xo）=O.因此，厂（兀）=0是可饋旳鑿在点x0取到极值的必要条件，但崔不晨可像甬寒取缈舉值於充令条件!例如函数f（x）=x3，尽管有厂（0）=0,但0不是它的极值点（图2-22）.以后，就把使厂（无）=

3、0的点勺称为函数/（%）的驻点5J能不是极值点）.图2-22O图2-23需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数f（x）=x（图2-23）,它在点0有极小值他是最小值），可是它在点0没有导数.因此，函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点.它们合在-•起称为函数的临矍点.-•般情形下，求连续函数/（兀）在开区间（a,b）内的极值时，-•般步骤是：笫一步，求出/（%）在区间⑺上）内的所有临界点（即驻点或没有导数的点）:笫二步，対于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极

4、值点；笫三步，求出函数在极值点处的函数值（即函数的极大值或极小值）.判别法I设为连续函数/（尢）在区间（d,b）内的临界点（驻点或没有导数的点）.若冇足够小的正数》，使（见图2-24）（D/（x）在（兀o-S）内是增大的且在（兀0,兀0+6内又是减小的，则于（兀0）是极大值;［或厂（兀）＞0］［或fx）＜0］（2）f（兀）在（x0-J,x0）内是减小的且在（必,兀°+5）内又是增大的,则/（兀°）是极小值;［或.厂⑴＜0］［或.厂⑴＞0］⑶/（x）在（勺-厶兀。+§）内是增大的或是减小的，则/（“））不是极值.八v乂

5、X（）kXo”Xo(1)(2)图224(3)当勺为函数/（%）的驻点几厂（勺）工（）时，就用下面的判别法II・判别法II设兀°为函数/（兀）在区间⑺上）内的驻点［即r（xo）=O］.若有二阶导数厂（勺）工（），则⑴当fx0）＜（）时，/'（兀°）是极大值；⑵当厂（心）＞0时，/（x0）是极小值.［当厂（勺）=（）时，函数于（兀）在点兀。是否取到极值，需要做进一步的讨论］证根据例22（§2-5），则有/（勺+力）=/（勺）+厂（兀0）/2++厂（兀0）力2+。（以）=.f（勺）+£/"（勺W+%）于是得/（兀0+Q-/

6、（心）=m厂区）+°⑴厅因为厂（必）工0,所以当I加足够小时，［厂（心）+0⑴］与门尢0）同符号•因此，有正数力，使当0＜h＜3时,f＜0,厂（x（））vO/Uo+/?）-/（x0）=1/00［＞0,/（x0）＞0这就是要证的结论.例23求函数y=x3+3x2-的极值.解y/=3x2+6x=3x（x+2）,y"=6x+6=6（兀+1）由y‘=0得驻点%）=-2,x2=0.因为）q=_2=-6v0,y］=（）=6＞0,所以＞jv=_2=（—2）3+3（-2尸-1=3是极大值；儿=（）=-1是极小值.【注】若两数/c

7、o在点观没有导数或二阶导数,ru0）=（）,就去卅上面的判别法【・2.函数的最大（/J^）值（又称为绝对极值）函数的最大（小）值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数/(X)在闭区间S,勿上的最大值和最小值时，方法更简单：第一步，先求出/(兀)在开区间(a,b)内的临界点；并求出/(兀)在所有临界点上的函数值.第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值于⑺)和/的放在一起做比较，其中最大者就是函数/(%)在闭区间［a,b］上的最人值，最小者就是函数/(%)在闭区间［a,b］上的最小值.非闭区I'可

8、上的连续函数可能没有最人值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值•例如，(1)函数/(兀)在区间［a,b)上增人(减小)时，/⑺)就是最小值(最人值)；⑵函数/(兀)在区间(a,b］上增大(减小)时，.f(b)就是最大值(最小值)；(3)设有点cw(a,b)・若函数/(兀)在区间(a