关于抽象函数错题分析

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1、关于抽象函数錯题分桥李瑾笔者曾经参加了《徐汇教育从书——都是f()惹的祸》(上海交通大学出版社，2004年1月出版)的第8章至第13章编写工作，这一部分较详尽地叙述了关于抽象函数的性质、背景、解决方法等问题。然而非常遗憾的是出版以后，笔者发现在编题过程小的一个错误:P100例18：己知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(-1,0)成中心对称，当xe［-1,0］时，有f(x)=x3,求f(x)在［-2,2］上的解析式。解：由于函数图彖关于点(T,0)成中心对称，又是奇函数，则且得即当xW［0,1］时,则当“(1,2]时，则当xw[―2,—1)时，则(7.•J(x)=d(Mf(x)=-f(

2、-2-x),f(x)=-f(-X),f(-2-x)=f(-X),f(x)=f(x+2),T=2.f(x)=-f(-x)=x3x—2e(-1,0],f(x)=f(x-2)=(x-2)3x+2e[0,l)x-»-2e[0,1],f(x)=f(x+2)=(x+2)3

3、”比较妥当。无独有偶，笔者在高三教学过程中，在查阅一些资料和学牛答疑过程中也发现抽象函数在编题过程中，是非常容易犯类似错误的:例:若函数f(x)同时满足：(1)对于任意实数x,y均有f(x-y)+f(y)=x(x+4y+2);(2)f(l)=O;(1)xW(T,O)时,f(x)-2<6x+a恒成立。求实数a的取值范围。(摘白《高小数学综合性应用学习(高考模拟篇)》P98,上海人学出版社)第(1)小题有以下若干种解法：解法一：令y=l,则f(xT)+f(l)=x(x+4+2),得f(xT)=x(x+6),99于是令X-I=t,则x二t+1,得f(t)=(t+l)(t+7)=t+8t+7.即f(x

4、)=x+8x+7解法二令x=l,y=0,则f(l-O)+f(0)=l*(l+0⑵,f(0)=3于是再令y二0,那么f(x-0)+f(0)二x(x+0+2),得f(x)=x(x+2)-3=x+2x-3・解法三:令x=y=l,则f(l-l)+f(l)=l・(l+4・l+2)二7,则f(0)=7于是再令y=0,那么f(x-O)+f(0)=x(x+0+2),得f(x)=x(x+2)-7=x+2x-7.为什么会有如此多的解法呢，但答案却不一致呢？关键是根据本题的条件町以找到漏洞：比如：令x=2,y=l,f(2-1)+f(1)=2*(2+4*1+2),得2f(l)=16,得f(l)=8•与条件中的f(l)

5、=0矛盾，所以会产生不同的函数解析式。/、例：已知函数/⑴二亡，当点(x,y)在曲线y二f(x)上运动时，点在曲线y二g(x)上运动。(1)求g(x)的表达式;(2)若h(x+l)=-h(x),当兀w-1,—时,h(x)=g(x),求h(2003.3)的值。2(摘自《中学数学教学参考》2004.1-2,P50,陕西师范大学主办)由第(1)小题易得:g(x)=3x1+3x而对于第(2)小题：学生会冇这两种做法:解法一:因为h(x+l)二-h(x),所以h(x+2)=-h(x+1)=h(x),由此得T二2。所以h(2003.3)=h(-0.7)=1-3-_21T710解法二：……得到T=2,又因为

6、h(x+l)二-h(x),9193丄所以h(2003.3)=h(l.3)二-h(0・3)=101+3—10这两种解法笔者认为都没冇问题，而之所以会产生两个不同答案，其实还是题意本身所在的缺憾：其实g(Q=』一这个函数在兀w-1,丄已经不符合T二2的特性，所以才产生')l+3xL2」了差错。同样，在刚刚结束的2005年的全国各地高考中，福建高考数学试卷一选择题引起了争议，原题是这样叙述的：数学(理工科)选择题第12题题目：f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A.2B.3C.4D.5许多老师和同学对该题进行反复论证。结

7、论是，该试题的A、13、C、D四个选项屮没有包含正确答案。此题具体这样解答：Vf(x)是奇函数,・・・f(0)=0oVf(x)是以3为周期，・・・f(3)=f(0+3)=f(0)=0oVf(x)是以3为周期，・・・f(5)=f(2+3)=f(2)=0；Vf(-1)=f(2-3)=f(2)=0；f(x)是奇函数，f(-1)=-f(1)=0o・・・f(1)=0f(4)=f(1+3)=f(1)=0Vf(