专题19函数零点的性质问题-2017原创精品之高中数学黄金100题系列

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1、笫19题函数零点的性质问题I.题源探究•黄金母题【例1]求函数/(x)=lnx+2x-6的零点的个数.【答案】1.叵创的定义域为

2、(o，T・・・・/(2)=ln2+4-6v0,/(3)=ln3+6-6>0,Il1零点存在性定理知

3、f⑴

4、有零点・乂/z(x)=—+2>O,/.y(x)在(0,+oo)上是单调递X增函数，

5、・・/(兀)

6、只有一个零点.II.考场精彩•真题回放【例2][2016高考天津理数】已知函数f(x)x2+（4a一3）x+3a,x<0,logJx+1）+1,X>0（a>0,且gl）在R上单调递减,且关于x的方程

7、f(x)l=2-x恰好有两个不和等的实数解，则0的取值范

8、围是【答案】C.rh/（x）在园上递减3—4力0,a1<6/<33a>l,0

9、/(x)

10、=2-x恰好有两个不相等的实数解,可知精彩解读【试题來源】人教版A版必修1第88页例1.【母题评析】本题考查了零点存在性定理、函数零点个数的判断.【思路方法】判断函数是否存在零点可用零点存在性定理或利用数形结合法.而要判断函数有几个零点，还需要借助函数的单调性.【命题意图】本题主要考查分段函数的零点问题.本题能较好的考査考生分析问题、解决问题的能力，以及数形结合、转化与化归能力等.【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较大.【难点中心】解答此类问题

11、，关在于数形结合，准确地作出图形.3tz<2,--l<2,-

12、lf，X~m英中

13、加>0

14、,若存在实［jt一2nvc+4m,x>m数b,使得关于x的方程f(x)动有三个不同的根，则m的取值范围是•［答案］

15、(3,+oo)试题分析：画出函数图象如下图所示：II寸I【命题意图】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念，考査学生分析问题与解决问题的能力.【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选

16、择题或填空题的形式出现，难度较大，往往是高中数学主要知识的交汇题.【难点中心】解答这类问题的关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式•本题能较好的考査考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.由图所示，要世土勺有三个不同的根,需要红色部分图象在深蓝色图象的下方，即22■m>m~一2m•m+4m,m~-3m>0,解得m>3.III.理论基础•解题原理函数零点、方程的根、函数图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，□这三者各具特点:（1）函数的零点：冇“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是

17、否存在零点；（2）方程的根：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的衣达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺樂；（3）函数图彖的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间.二者转化：函数的零点巨］方程（兀）刊的根

18、方程变形〉

19、方程

20、&（兀）=吃）

21、的根巨

22、函数g（兀）与”（制的交点.III.题型攻略•深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基木以选择题或填空题的形式出现，一般综合性较强，难度较人.【技能方法】1.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分

23、离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系屮，画出函数的图象，然后数形结合求解.2.此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图象交点问题，并作出函数图彖；（2）确定变量范围：通过图象与交点位査确定参数和零点的取值范围；（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的俏.【易错指导】对函数零点存在的判断需要注意以下两点：（1）函数

24、/（胡在可上连续;（2）满足如皿）＜0.上述方法只能求变号冬点，对于非变号零点不能用上述方法求解.另外需要注意的是：(1)若函数

25、

26、/(兀)

27、的图象在卜=X。

28、与因轴相切,则零点区

29、通常称为不变号零点；(2)函数的零点不是点，它是函卜二/(对数与因轴的交点的横坐标,是方程

30、/(兀)=6的根.III.举一反三•触类旁通【例1】【2016湖北七校联考，理9】已知贞创是奇函数并且是冈上的单调函数,若函数卜=/(2/+1)+/仇_力

31、只有一个零点，则实数囚的值是A.1B.1C.7D.34888【答案】C.【解析】令7=fg+l)+/(A-x)=O,且/(x)是奇函数，则f(2x2+1)=-/