专题17函数方程问题的分析-2017原创精品之高中数学黄金100题系列

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1、・题源探究•黄金母题【例1】已知/(兀)=3“,求证：⑴/(兀)・/(刃=/(尢+)0；⑵/(兀)*(『)=/(兀一y)・【证明】(1)・・/(%)=3”,.・./(x)•/(}')=3’•3,=3"=/(x+y).(2)•・/(x)=3”,••J⑴*(y)=3*-3y=3"=f(x-y)II.考场精彩•真题回放【例2】[2014高考辽宁理数12]已知定义在[0,1]上的函数/(兀)满足：®/(0)=/(l)=0；②对所有x,yw[0,l],且xHy,有若对所有兀,yw[0,l],f(x)-f(y

2、)

3、步转化成不含绝对值的式子，得出(结论.1A.一B.—24c.11——D.-2718【答案】B不妨令OSvy，则

4、/(x)-/(j)

5、<^

6、x-,y

7、・解法一：2

8、/(x)-/b)卜

9、/(x)-/(O)+/(x)-/b)-[/(y)-<

10、/(兀)-/(0)

11、+

12、/(兀)-/(y)

13、+

14、/(y)-/(1)

15、卜_°1+£卜卜_i

16、=gx+g(y_兀)+£()‘_「即得

17、/(x)-/b)

18、＜丄，另一方而，当Wefo丄］时,4I2丿IIX/(兀)=~u,符合题意,当T时,U1=>—24解法二：当x-y<丄时°

19、,2

20、.d(y)

21、<*H吕，当x-y>—时，•2

22、/(^)-/(30

23、=

24、[/(x)-/(°)]-[/(3J)-/(l)]

25、帀(兀)-/(1)

26、+

27、心)-/(0)

28、<新-0

29、+扣-1_1Z1X1_11Z'1石(1-无)+尹石+尹-x)〒III.理论基础•解题原理1・函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：/(X)=-/(-x),/(l-X)=/(1+X)都可称为函数方程.在高中阶段，涉及到函数方程有以下儿个类型：(1)表示函数/(兀)的某种性质:例如/(x)=/(-x)体现/(兀)是偶函数;

30、y(x+l)=/(x)体现/(兀)是周期为1的周期函数(可详见“函数对称性与周期性”一节).(2)可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：/(x)+2/

31、l

32、=3x,I兀丿<1可用丄代替兀得/-+2/(兀)二二,X=>/(x)=--x.+2心)/"X(3)函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变暈赋特殊值得到某些数的函数值.2.双变量两数方程的赋值方法：(1)对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比如/(O)J(l),/(-l),在赋特殊值的过程中

33、要注意所赋的值要符合函数定义域.(2)其中某一个变屋不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质.IV.题型攻略•深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对基本初等函数及超越函数性质的理解，-•般难度较大.【技能方法】常见函数所符合的函数方程：在填空选样题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程.抽象函数具体模型/(x+y)=/(x)+/(y)比例函数:正/(x)=kx指数函数：/(兀H>O,dHl

34、)/(兀•》)=『(兀)+f(y)当兀W(0,+oo)时，/(x)=logax当xg{x

35、x^O}时，.f(兀)=log“卜幕函f(x)=xa/(x+y)+/(x-y)=2/(x)-/(y),/(O)^O三角函数：/(x)=cosx【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论.所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具休函数，然后隐去解析式來叙述这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多.

36、III.举一反三•触类旁通考向1求抽象函数的解析式(值)【例1］己知函数/(x)满/(兀+丿)+f(^-y)=2/(x)/(y),()足:/(1)=1,对任意实数X』都有A.C.D.-1/(1)+/(2)+/(3)+…+/(2014)=【答案】B.具备周期性，令y=,可得山所求出发可考虑判断/(%)是否/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l)‘即/(x+l)+/(x-l)=/(x)‘・・・/(x+2)+/(x)=/(x+l),两式相加可得/(x+2)=-/(x