专题14指数函数-2017原创精品之高中数学黄金100题系列（原卷版）

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1、I-题源探究•黄金母题第14题【解析】由题意/(学-,即2【例1】对于函数/(%)=a—--—(aeR):2+1(1)探索函数/(兀)的单调性；(2)是否存在实数Q使函数/(兀)为奇函数？2【解析】(1)/(兀)=^_2丫+］在兀W(YO,~HX))上是增函数.证明：任取X］,兀2W(-8,+8),且无］<兀2，.222/(%!)—/(x9)=aa+=—八1八22"+12J12J122(2册—2七)2"+1(2忘+1)(2"+1)'因为占w(yo,+oo),所以2七+1>0,2"+1>0.Y+

2、一2+-——，所以，(1—a

3、)(2*+l)=0,2—a2—ci2X+1解得a=,所以=,于是由不等式2A-12V+1/(%)=±-J->3,得1<2V<2,解得2V-10

4、(◎<()，即/(石)

5、兀+m

6、=

7、x-,解得幵2=0,所以6?=2'，0°s-l3,Z?=2l,og25l-1=4,c=2°-l=0.又f(x)=2W在［0,+8)为增函数，所以c

8、金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投11・考场精彩•真题回放入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年【例2】［2015高考山东文】若函数/(x)=2”+1r是奇函投入的研发资金开始超过200万元的年份是()数，则使/(x)>3成立的x的取值范围为()A.(-oo,-l)rB.(-1,0)C.(0,1)D.(l,+oo)【答案】C(参考数据:lg1.12^0.05,lg1.3^0.11,lg2~0.30)A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年【考试方向】这类试题在考查

9、题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型「函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用.【难点中心】（1）处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用指数函数的图象时，常常涉及不太规范的指数型函数的图象，其作法可能较难；（3）解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解;（4）在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难.【答

10、傑】B【解析】设第年的研发投资资金为色，又马=130,则=130x1.12w_,.由题意,需=130x1.12"_,>200,解得7?>5,故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万，故选B.精彩解读【试题来源】人教版A版必修一83页B组第34题【母题评析】本题以指数型函数为载体，考查函数的奇偶性与单调性问题.此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，达到考查运算能力、分析•与探究问题的能力、逆向思维能力•的'目的.【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种常规方法解决：一是利用定义

11、来解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决.已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决.【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用.III.理论基础•解题原理考点一指数与指数幕的运算1.根式的概念：一般地，如果兀"二Q,那么兀叫做g的斤次方根，其中兀>1,且负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作“5=0.当几是奇数时，历=61,当几是偶数时，f^=a=a（6Z"0）[-ci（a<0）2.分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定：mm（2）a1(1)an=yl~a^(ci>O,7?2,72eN,

12、n>V)；-^―=2—(ci>0,m,neN>1)a”Z0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义.3.实数指数幕的运算性质®ar-as=ar+s®{ary=ars3(abY=arbr(€Z>0,r,5gR)；(a>0,r,sgR)；(a>0,r,5eR).考点二指数函数的定义一般地，函数y=