资源描述：
《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案5.1.2空间向量及其坐标表示》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、5.1.2空间向量及其坐标表示教学目标：（1）了解空间向量及其相关的概念，了解空间向量坐标表示;（2）会求非零向量的方向角与方向余弦；教学重点：空I'可向量及其相关的概念，空I'可向量坐标表示。教学难点：非零向量的方向角与方向余弦的理解。授课时数：2课时.教学过程备注过程知识回顾教师讲授与学生冋答相结合图5—810’屮职阶段我们学习了平面向量.大家知道，既有大小又有方向的量，称为向量,平面向量用平面的一条有向线段表示.在平色直角坐标系中，设x轴的单位向量为轴的单位向量为厶点M（x,y）对应向量OM=xi
2、+yj（图5—7）,把力、方分别叫做向量师沿x轴、y轴方向的分向量.并把有序实数对（兀,刃叫做向量丽的坐标.起点A（州」），终点B（x2,y2）的向量砸的坐标为AB=（x2-xl,y2-y）.新知识下面将平面向量的概念拓展到空间.用空问有向线暨示的向量叫做空间向量.以A为起点、B为终点的有向线段（如图5—8）记作乔（或a）.有向线段的长度叫做向量的模，记作
3、殛
4、（或
5、创）,有向线段的方向表示向量的方向.模等于1的向量称为单位向量.模等于零的向量称为零向量.如果一组向量用同一起点的有向线段表示后，这些有
6、向线段在同一条直线上，教师讲授那么称这组向暈共线；否则称不共线.如果一组向量用同一起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一个平面内上，那么称这组向量共面；否则称不共面.在空间直角坐标系中，设兀轴的单位向量为■），轴的单位向量为J，z轴的单位向量为珞点M（x,”z）对应向量OM=xi+yj+zk（如图5-9）,把力、方、分别叫做向量丽沿兀轴、y轴、z轴方向的分向量•并把并把有序实数对（兀,y,z）叫做向量OM的坐标，记作OM=(x,y,z).图5-9在空间中，起点为点终点为M2(x2,y2,z2)的向量的
7、坐标为MlM2=(x2-xl,y2-yl,z2-zl)(5.3)因为MjM2=阿闷,所以由公式(5.1)知M]Mg=J(*2—兀J?+(乃一Vi)?+6—NJ?(5.4)在空间任取一点0,做有向线段0A=a,0B=b，则向量a与向量〃正方向所夹最小正角，称为两向量a与〃的夹角，记作〈a,仍(图5—10).向量a与方的夹角<«,*>的范围是[0,tt].分别用0、7表示非零向量丽与x轴、y轴、Z轴之间的夹角(如图5一12所示)，设OM=a显然有，x=a图5—10z=a-cosy-图5-11结合图形
8、或爭物演示非零向量丽与兀轴、y轴、Z轴之间的夹角a、B、7称为非零向量0M=a的三个方向角；cosa、cos"、cos7称为非零向量丽的三个方向余弦。设a=(x,y,z),则其坐标表达式分别为XXcosa=——=z=
9、a
10、yjx2+y2+z2yy；COSB=—=,1^1y]x2+y2+z2zcosy=—55'显然cos2a+cos2[3+cos2y=1.(5.5)知识巩固例4如图5—12所示，己知点M(3,4,5),沿OM方向的作用力F的大小为10N.求力F在x、y、z轴上的分力.解设力F与兀、.y、z
11、轴正方向的夹角分别为a、0、/,由题意得丽=(3,4,5),C0S6T=3_3a/2在教师引领下完成obcos0=4__2V
12、OM57255_V2COS/=所以0A=F0D=Fcosa=10x晋=3d(N),况=0cos/=10x^-=5/2(N).cos0=lOx二4近(N),65'一丁'因此，力F在x、八z轴上的投影分别为3血N,4^2N,5^2N.学生课上完成练习5・1・21•设向量a与兀轴、y轴、z轴之间的夹角分别为a、0、7,且方向余弦分别满足：cosa=0,cos0=l,cos“0
13、.判断向量a与坐标轴及坐标平面之间的关系.85’2.已知空间两点£(4,迈,1)与巧(3,0,2),求向量斤可的坐标、模、方向余弦及方向角.小结新知识：空间向量及英相关的概念，空间向量的处标表示。1.对照平而向量记忆空间向量的相关知识；2.完成习题册作业5.1.2。
