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1、立体几何的解题思路四川省成都第七中学张世永巢中俊周建波《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言•教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间屮一般的点、线、面Z间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体
2、几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体儿何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间屮的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。一•求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变.例1.（1）已知直线a上所成角为60°,经过空间屮一点P作直线/,使直线/与a、b所成角均为60°,则这样的直线/有几条？解：经过点
3、P作直线m//a,n〃b,则直线加'所成角为60°或120°,点P作直线加‘的两条角平分线，其中有一条与加/所成角均为60°,另一•条与加曲所成角均为30°,把这条角平分线沿着点P旋转可以得到两条直线与加丿所成角均为60°,从而与a、b所成角均为6（T的直线有三条■问题的推广：已知直线所成角为60°,经过空间中一点P作直线"，使直线/与b所成角均为&,这样的直线/有四条，则角&应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有零条呢？答案：有四条时,60°<&v90。；有两条时,30°v0v60°:有一条时,0=30°,90°.有零条时，0
4、<0<30°■变式：（1）已知直线a与平面Q所成角的大小为60°,经过空间中一点P作直线/,使直线/与直线a和平面Q所成角均为45°,则这样的直线/有几条？（2）已知平面G与平面0所成锐二面角的大小为60°,经过空间屮一点P作直线/,使直线/与平面G和平面0所成角均为60°,则这样的直线/有几条？二jr③过点M与异面直线PA和BC都成才的直线有3条；④若二面角B-PA-C大小为丝，则过点N与平面PAC和平面PAB都成兰的直线有336条.正确的序号是.解：（1）经过点P作平面Q的法向量二则问题转化为“已知直线幺用所成角为30°或1
5、50°,经过点P作直线/,使直线/与⑦料所成角均为45°,则这样的直线/有几条？”由例1容易得到这样的直线/有两条.（2）经过点P作平面G的法向量方，平面0的法向量7,则问题转化为“已知直线血,〃所成角为60°或120°,经过点P作直线/,使直线/与加‘所成角均为30°,则这样的直线/有儿条？”由例1容易得到这样的直线/有一条.（3）仿照（1）（2）可以得到答案①②④二.高考中有较大部分题都可以转化为以正方体为背景的问题，为新编以正方体为背景的系列题：相同条件为“正方体ABCD-A&CQ棱长为1”・1.正方体ABCD-A.B^D
6、,棱长为1,E,F是BD上的动点，且EF=」BD・2（1）当E在BD中点时，F恰在B点，求二面角B、一EF—G大小;（2）当EF在BD上运动时，该二面角是否发生变化?解：（1）取中点。易知QO丄面EFB],设二面角B.-EF-C,大小为&・•••COS&亠如S、EFC―^-f二面角B]-EF—C]大小为arccos-^-（2）rtl（1）中求二面角的方法可知，无论EF在BD上的什么位置,...SS&=虽匝二而角B}-EF-G的大小不变.SMFC、32.正方体ABCD-BXC}DX棱长为1,P为£冋的四等分点,Q为Z）
7、C
8、中
9、点，0为平面AA^B}B的中心.（1）求证：0C与PQ共面；（2）求:平面OPQC与平面AA^B^B的夹角.（1）证明：取4B[中点H,连结BH,HQ.易证BH虫Q,又OP対企HB中位线，・・・OP//BH.OP//CQ・・・0C与PQ共面.(2)连结0Q,过0作°”丄PQ”连结MH•・・OH丄面PHQ,：・OH丄PQ又OM丄PQ,:.PQ丄面OMH,・・・PQ丄MHZOMH为面OPQC与面AA.B.B的夹角.11/]7/]7PH=—,HQ=,OH=—,MH=-—,:.tanZOMH=—42172・・・Z0MH二=arctan
10、佰2三•高考中有一部分题都是以三棱柱为背景的问题，为此新编以三棱柱为背景的系列题.例3.斜三棱柱ABC-A.B,G的底血是等腰三角形，AB二AC,上底面的TT顶点A在下地面的射影是ABC的外心，BC=a^AB=彳，棱柱的侧面积为2屈a?(1)证明：侧面AA.B
