高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.2向量减法运算及其几何意义学案无答案新人教A版

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1、2．2.2　向量减法运算及其几何意义学习目标　1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一　相反向量思考　实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？答案　相反向量．梳理　(1)定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.③零向量的相反向量仍是零向量．知识点二　向量的减法思考　根据向量减法的定义，已知a，b如图，如何作出向量a，b的差向量a－

2、b?答案　(1)利用平行四边形法则．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，以，为邻边作平行四边形OAEC，则＝a－b.(2)利用三角形法则．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.知识点三　

3、a

4、－

5、b

6、，

7、a±b

8、，

9、a

10、＋

11、b

12、三者的关系思考　在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，

13、a

14、－

15、b

16、，

17、a±b

18、，

19、a

20、＋

21、b

22、三者关系是怎样的？答案　它们之间的关系为

23、

24、a

25、－

26、b

27、

28、≤

29、a±b

30、≤

31、a

32、＋

33、b

34、.梳理　当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边

35、关系，则有

36、

37、a

38、－

39、b

40、

41、<

42、a＋b

43、<

44、a

45、＋

46、b

47、.当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时

48、a＋b

49、＝

50、a

51、＋

52、b

53、.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设

54、a

55、>

56、b

57、，作法同上，如图(3)，此时

58、a＋b

59、＝

60、

61、a

62、－

63、b

64、

65、.故对于任意向量a，b，总有

66、

67、a

68、－

69、b

70、

71、≤

72、a＋b

73、≤

74、a

75、＋

76、b

77、.①因为

78、a－b

79、＝

80、a＋(－b)

81、，所以

82、

83、a

84、－

85、－b

86、

87、≤

88、a－b

89、≤

90、a

91、＋

92、－b

93、，即

94、

95、a

96、－

97、b

98、

99、≤

100、a－b

101、≤

102、a

103、＋

104、b

105、.②将①②两式结合起来即为

106、

107、a

108、－

109、b

110、

111、≤

112、a±b

113、≤

114、a

115、＋

116、

117、b

118、.1．相反向量就是方向相反的向量．(　×　)提示　相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．2．向量与是相反向量．(　√　)提示　与大小相等、方向相反．3．－＝，－(－a)＝a.(　√　)提示　根据相反向量的定义可知其正确．4．两个相等向量之差等于0.(　×　)提示　两个相等向量之差等于0.类型一　向量减法的几何作图例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.考点　向量的减法运算及其应用题点　求作差向量解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.方法二　如图②，在平面内

119、任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.引申探究若本例条件不变，则a－b－c如何作？解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.反思与感悟　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a.考点　向量的减法运算及其应用题点　求作差向量解　方法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则＝＋＝b

120、＋c，＝－＝b＋c－a.方法二　作＝＝b，连接AD，则＝－＝c－a，＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.类型二　向量减法法则的应用例2　化简下列式子：(1)－－－；(2)(－)－(－)．考点　向量加、减法的综合运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量解　(1)原式＝＋－＝＋＝－＝0.(2)原式＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．跟踪训练2　化简：(1)(－)－(－)；(2)(＋＋)－(－－)．考点　向量加、减法的综合

121、运算及应用题点　利用向量的加、减法化简向量解　(1)(－)－(－)＝－＝.(2)(＋＋)－(－－)＝＋－＋(＋)＝＋－＋＝－＋＝＋＋＝＋＝0.类型三　向量减法几何意义的应用例3　已知

122、

123、＝6，

124、

125、＝9，求

126、－

127、的取值范围．考点　向量减法的定义及其几何意义的应用题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系解　∵

128、

129、

130、－

131、

132、

133、≤

134、－

135、≤

136、

137、＋

138、

139、，且

140、

141、＝9，

142、

143、＝6，∴3≤

144、－

145、≤15.当与同向时，

146、－

147、＝3；当与反向时，

148、－

149、＝15.∴

150、－

151、的取值范围为[3,15]．反思与感悟　(1)如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.(2)在