2019-2020年高三数学 考前十五天每天一练15

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1、2019-2020年高三数学考前十五天每天一练151.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.2点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是A．B．C．D．ADBCPEFGH3.如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使直线与直线所成的角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.4为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比

2、赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：成绩等级ABCDE成绩（分）9070604030人数（名）461073（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“或”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数，求的分布列及其数学期望；（Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于分”的概率．5.已知函数（），.（Ⅰ）求函数的

3、单调区间；（Ⅱ）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围.D3.（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.ADBCPEFGHzyx（Ⅱ）因为平面，，所以平面，所以，.又因为四边形是正方形，所以.如图，建立空间直角坐标系，因为,所以，，，，，．…………5分因为，，分别为，，的中点，所以，，.所以，.设为平面的一个法向量，则,即，再令，得.,.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以==.所以平面与平面所成锐二面角的大小为.…………9分（Ⅲ）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为.依题意可设,其中.由,则.又因为,，所以.因为

4、直线与直线所成角为，，所以=，即，解得.所以，.所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时.4.解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“或”的频率为．从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“或”的概率约为…3分（Ⅱ）由已知得，随机变量的可能取值为0，1，2，3．所以；；；．随机变量的分布列为0123所以．……………9分（Ⅲ）设事件M：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分．设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为．显然基本事件的总数为．不妨设，当时，或或，其基本事件数为

5、；当时，或，其基本事件数为；当时，，其基本事件数为；所以．所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于分的概率为．……………13分5.解：（Ⅰ）函数的定义域为，.…………1分①当时，当变化时，，的变化情况如下表：所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，.②当时，当变化时，，的变化情况如下表：所以，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是（Ⅱ）依题意，“当时，对于任意，恒成立”等价于“当时，对于任意，成立”.当时，由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以函数的最小值为.所以应满足.………………………………………………

6、……………6分因为，所以.……………7分①当时，函数，，，显然不满足，故不成立.……………8分②当时，令得，，.（ⅰ）当，即时，在上，所以函数在上单调递增，所以函数.由得，，所以.……………10分（ⅱ）当，即时,在上，在上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.由得，，所以.……………11分（ⅲ）当，即时,显然在上，函数在上单调递增，且.显然不成立，故不成立.……………12分综上所述，的取值范围是.……………13分