2019-2020年高考数学 中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题06 导数解答题（含解析）

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1、2019-2020年高考数学中等生百日捷进提升系列（综合提升篇）专题06导数解答题（含解析）导数与函数的单调性的综合题【背一背重点知识】1.利用导数求函数区间的步骤：一求定义域，二求导数为零的根，三在定义域内分区间研究单调性；2.利用函数单调性与对应导数值关系，进行等价转化.如增函数可转化为对应区间上导数值非负；减函数可转化为对应区间上导数值非正；3.利用导数积与商运算法则规律，构造函数研究函数单调性，如可转化为可转化为【讲一讲提高技能】1.必备技能：会根据导数为零是否有解及解是否在定义域内进行正确

2、分类讨论；会根据函数单调性确定导数在对应区间上符号规律；会根据导数积与商运算法则规律构造函数.2.典型例题：例1已知函数．（1）当时，求的极值；（2）当时，求的单调区间；（3）方程的根的个数能否达到3，若能，请求出此时的范围，若不能，请说明理由．【答案】（1）极小值，无极大值；（2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，的单调递减区间是，当时，的单调递减区间是，，单调递增区间是；（3）不能，理由见解析．【解析】试题解析：（1）其定义域为．当时，．令，解得，当时，；当时，．所以的单调递减区间是

3、，单调递增区间是．所以时，有极小值为，无极大值．例2已知.（Ⅰ）若，求在处的切线方程；（Ⅱ）确定函数的单调区间，并指出函数是否存在最大值或最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅱ）=其中，…………2分令，得1）当，即时，小于0等于0大于0小于0递减极小值递增递减的增区间是，减区间是和，当时，取得极小值。又时，，所以有最小值；…………6分…………7分3）当时，的增区间是，减区间是和，当时，取得极大值。又时，，所以有最大值。…………9分【练一练提升能力】1.已知函数．（Ⅰ）若,求在点处的切线方程

4、；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）求证：不等式对一切的恒成立．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，在上单调递增当时，当在单调递减，在单调递增；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题解析：（Ⅰ）时，所以又所以切线方程为2.已知函数的图象过点（0，3），且在和上为增函数，在上为减函数．（1）求的解析式；（2）求在R上的极值．【答案】（1）；（2），．【解析】试题分析：第（1）小题已知函数的单调性，求相关参数，，的值．只需抓住是的两个根，就行了；第（2）小题已知函数的单调性，求函数的极值，思路清晰简单明了．导数与函数的极值、最

5、值的综合题【背一背重点知识】1.运用导数求可导函数的极值的步骤：（1）先求函数的定义域，再求函数的导数；（2）求方程的根；（3）检查在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值.2.求函数在区间上的最大值与最小值的步骤：（1）首先确定函数在区间内连续，在内可导；（2）求函数在内的极值；（3）求函数在区间端点的值；（4）将函数的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3.已知函数最值求参数，需正确等价转化.如函数最大值为2，

6、则等价转化为：恒成立且有解.【讲一讲提高技能】1.必备技能：求函数最值时，不必讨论导数为零的点是否为极值点；而求函数极值时，必须考察导数为零的点的附件导数值是否变号，若不变号，则不为极值点；若变号，再根据变号规律，确定是极大值还是极小值.2.典型例题：例1已知函数．（Ⅰ）求函数的极小值；（Ⅱ）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）当时函数有极小值；（Ⅱ）．【解析】令，则．0-0+↘极小值↗所以当时函数有极小值．………………6分（Ⅱ）函数．当时，，所以要使与无交点，等价于恒成立．令，

7、即，所以．①当时，，满足与无交点；②当时，，而，，所以，此时不满足与无交点．③当时，令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，．由得，即与无交点．综上所述当时，与无交点.例2已知函数.（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间.【答案】（Ⅰ）或.（Ⅱ）当时，单调递增区间是，单调递减区间是，当时，单调递增区间是，单调递减区间是.【解析】解得或.经检验，或时，是函数的极值点.……………6分【练一练提升能力】1.(12分)已知函数,在时有极大值;（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的

8、最值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最大值,最小值【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可知且,从而可求得的值.（Ⅱ）求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,比较其极值与端点处函数值,其中最大的为最大值,最小的为最小值.2.已知函数，（其中为常数）；（Ⅰ）如果函数和有相同的极值点，求的值；（Ⅱ）设，问是否存在，使得，若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】解：（I），则，令，得或，而