函数与方程综合运用

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1、1•等比数列｛£｝的前n项和为S“，已知对任意的neN+，点⑺,S”)，均在函数y=b+r(b>0且b丰,b,厂均为常数)的图像上.(I)求r的值；(II)当b=2时，记bn=2(log2an+l)(neN+)*h2证明：对任意的,不等式吐U1……211〉后T成立(I)市题意知：当n>2时,an=Sn-SS+r—(b"+r)=bn-bn~'=(b-10",由于/?>0且〃1,所以当n>2时，｛色｝是以b为公比的等比数列,又q严S严b+心=b(b-V),hb,即b@_D=乂解得厂=_i.a】b+r(II

2、)・・・S“=2"_1,・・・当刃n2时,色=S”一St=(2〃一1)—(2灯一1)=2心,又当“=1时，q=§=公一1=1，适合上式,・・・an=2心,bn=2(log22”t+1)=2n,•勺+l/?2+1bn+13x5x7xLx(2m+1)■I•■■•I•■d■I/?,h2bn2n-1x2x3xLxn下而用数学归纳法來证明不等式：3x5x7xLx(2〃+1)〉后j2-1x2x3xLx/i证明：⑴当"=1时,左边=—=./—>>/2=右边,不等式成立.2V4⑵假设当n=k(kwN*)吋,不等式成立，

3、即3><严74x(2*+1)〉低石,2*-1x2x3xLxk则当/?=k+时，不等式左边=勺+1.优+1仪+1.仇+i+1=j,.丄？.l2'+12'+3'b}b2bkb"2462k2k+22k+2V4伙+1)所以当“R+1时,不等式也成立，2H-1x2x3xLxn综上⑴⑵可知：当nwN*吋,不等式Xx7xLx(加+1)>后j恒成立,所以对任意的neN不等式空1・D・L•如也>后1成立.Sb2bn2.某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)xk万件与年促销费用

4、m(m>0)万元满足x=3(k为常数),如果不搞促销活动，则该m+1产品的年销售量是1万件.已知2009年牛产该产品的固定投入为8万元，每牛产1万件该产品蛊要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成木的1.5倍(产品成木包括I剤定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用).(1)将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;(2)该厂家2009年的促销费用投入多少力元时，厂家的利润最人？解：(1)由题意可知,当加=0时,x=l,A1=3-A:即R=2,Ax=3—-,每件产

5、品的销售价格为1.5x±l竺元.m+1x:.2009年的利润y=x[.5x8+16%]一(8+16兀+m)X=4+8兀一加=4+8(3—一)-m=-[-^-+(/??+l)]+29(m>0)m+1m+1(2)•/m>0时，-^-+(m+l)>2V16=8.m+1y<-8+29=21,当口仅当上一=血+1,即w=3时，ymax=21.777+1答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元3.讨论关于兀的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数fx-l>0

6、解:原方程转化为〈3-x>0a-x>Q，即方程x2-5x+a+3=0在区间(1,3)内是否有根，由f(l)=a-]>0得冇一根在区间/⑶=«-3<0f(l)=a-l>013f(3)=a-3>O^ae(3,—)时，原方4△>0135△n0得：as—，设f(x)=x2-5x+a+3,对称轴是x=—,若42(1,3)内，即当aw(l,32｛号时,原方程冇一根；若v程冇两根；必(1,3时，原方程无解44.图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面(阴影部分)示意图，其中四边形/〃〃是矩形，弧O

7、/是半［员

8、,凹槽的横截而的周长为4•已知凹槽的强度与横截面的面积成止比，比例系数为V3,设AB=2x,BOy.(I)写出y关于/函数衣达式，并指出/的取值范围;(II)求当X取何值时，凹槽的强度最大.解析：(I)易知半圆的半径为尢故半圆的弧长为兀厂所以4=2x+2y+^x94-(2+於依题意知：0/3[4x-(2+y

9、)x2]」(4+3龙)亠*墮.24+3龙4+3龙44因为Ov<,4+3兀4+兀所以，当x=^—时，凹槽的强度最大.4+3”4答：当x=-—时，凹槽的强度最大.13分4+3兀注：解析儿何、立体儿何及实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立kl标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值2.已知函数f(x)=ln(2x)和g(x)=21n(2x+m-2),mGR的图象在x=2处的切线互相平行.(1)求m的值；