CHAP6数理统计的基本概念

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1、CHAP6数理统计的基本概念§6.1数理统计的方法与内容数理统计的内容十分丰富，大体上可分为收集数据和统计推断两个方面：（1）收集数据研究如何对随机现象进行观察或试验，以便获得能够很好地反映整体情况的局部数据．其内容包括抽样技术、试验设计等．（2）统计推断研究如何对收集到的局部数据进行整理、分析，并对所考察的对象的整体特性做出尽可能准确可信的推测和判断．其内容包括参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等．统计推断是数理统计的主体．§6.2总体与样本6.2.1总体及其分布总体又称母体，指一个统计问题所研究的对象的全体，总体中的每一个研究对象称为个体．总体所含个体的数量称为总体容

2、量．当总体的容量有限时，称为有限总体；否则，称为无限总体．我们把总体也可以看作由所考察的某一项数量指标所有可能取的值组成的集合，记作X，集合X中的数值可能有重复的，每个数值表示一个个体，且不相等的数值在X中所占的比率可能不同．总体X中的每个数值按一定比率分布的规律称为总体分布．应当指出，当我们从一个总体X中随意地抽取一个个体时，取得的个体实际上是一个随机变量，记作X．显然，随机变量X所有可能取的值组成的集合就是X，且随机变量X的概率分布与总体X的分布本质上没有什么区别．为了方便起见，今后我们把总体X与随机变量X都用X来表示，总体X的分布指的就是随机变量X的概率分布，可用分布列

3、，或密度函数，或分布函数具体表示出来．总体X的数字特征指的就是随机变量X的数字特征．总之对总体X与随机变量X不加区别，笼统称为总体X．6.2.2样本与抽样样本又称子样，指按某一方式从统计总体中抽取的部分个体，样本中的每个个体又称为样品．一个样本中所含样品的个数称为样本容量．抽取样本的过程称为抽样，抽取样本的方式又称为抽样方法．应当指出，样本是具有二重性的．一方面，抽样前样本中的每个样品的取值都具有随机性，即每个样品都是随机变量；另一方面，抽样后样本中的样品都是确定的数值．在理论研究中，我们把样本中的每个样品都看作随机变量，总体X的一个容量为n的样本通常是用n个随机变量来表示，

4、进行一次具体的抽样之后得到n个确定的数值称为样本的一个观测值，简称为样本值．抽样方法可分为随机抽样和判断抽样两大类．随机抽样是从总体中随机地抽取部分个体，即所取得的样本中的每个样品是从总体中随意抽取的；判断抽样是根据抽样人员的判断从总体中有选择地抽取具有代表性的部分个体．随机抽样又分为重复抽样（或返回抽样）和非重复抽样（或无返回抽样）两种．为了使样本既能很好地反映总体情况，又在数学上便于处理，对所抽取的样本常常提出某些要求，最基本的要求有两个：（1）样本中的各个样品是独立的随机变量，称为独立性；（2）样本中的每一个样品都与总体有相同的概率分布，称为同一性．设总体X的分布函数为

5、F（x），则样本的联合分布函数为＝F（x1）F（x2）…F（xn）（6.1）若总体X为离散型总体，其分布率为P{X=x(i)}=p(x(i))，i=1，2，…，则样本的联合分布率为（6.2）若总体X为连续型总体，其密度函数为则样本的联合密度函数为f（x1）f（x2）…f（xn）（6.3）6.3统计量及分布6.3.1统计量的概念定义6.2设是来自总体一个样本，且是的一个函数．若未知参数，则称为统计量．中不含任何的最常用的统计量1．样本均值（6.6）（6.7）2．样本方差（6.8）3．样本标准差4．样本阶原点矩（6.9）（6.10）阶中心矩5．样本6.3.2三种重要分布1．分布K

6、arlPearsonBorn:27March1857inLondon,EnglandDied:27April1936inColdharbour,Surrey,England密度函数为（6.12）的图形如图6-3所示．图6－32．分布设，且和相互独立，则（6.13）称做自由度为n的t变量，其概率分布称做自由度为n的t分布，记为WilliamSealeyGossetBorn:13June1876inCanterbury,EnglandDied:16Oct1937inBeaconsfield,England密度函数为（6.14）的图形如图6－4所示．图6－4当n很大时，t（n）分

7、布近似于N（0，1）分布3．F分布设，且X与Y相互独立，则（6.16）称做自由度为的F变量。其概率分布称做自由度为的F分布，记为SirRonaldAylmerFisherBorn:17Feb1890inLondon,EnglandDied:29July1962inAdelaide,Australia密度函数为（6.17）的图形如图6－5所示．图6－5容易证明：若，则有6.3.3分位点图6－66.3.4抽样分布