2.2.2公式法解一元二次方程1.2.2 公式法1

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1、2．2.2　公式法1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程；(重点)3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、情境导入如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝.二、合作探究探究点一：求根公式方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝_____

2、___，c＝________，方程的根为____________．解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.故答案为：3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，.[来源:学_科_网Z_X_X_K]方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．探究点二：用公式法解一元二次方程用公式法解下列方程：(1)－3x2－5x＋2＝0;(2)2x2＋3x＋3＝0；(

3、3)x2－2x＋1＝0.解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.[来源:学&科&网]∵a＝3，b＝5，c＝－2，∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝－2.(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，∴原方程没有实数根．(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，∴x＝＝，∴x1＝x2＝1.[来源:学

4、科

5、网Z

6、X

7、X

8、K][来源:Z.xx.k.Com]方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定

9、公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．探究点三：根的判别式【类型一】用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是(　　)A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式

10、ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．【类型二】根据方程根的情况确定字母的取值范围若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)A．k>－1B．k>－1且k≠0C．k<1D．k<1且k≠0解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选B.易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等

11、于0这一条件，本题容易误选A.【类型三】利用根的判别式判断三角形的形状已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0.∵原方程有两个相等的实数根，∴(－2a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，即4m(a2＋b2－c2)＝0.又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．方法总结：利用根的判别式判断三角形形状的方法：根据一元

12、二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．【类型四】利用根的判别式解存在性问题是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不

13、相等的实数根．易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了