集合论-第三章1.ppt

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1、第三章关系第三章关系1.映射是关系的一种特例映射反映的是事物之间的单值的依赖关系，而事物之间不仅仅是单值依赖关系，大部分都是多值的依赖关系。对于这种多值的依赖关系，可以用“关系”这个概念来描述。因此映射是关系的一种特殊情况。2.在这里，所研究的关系主要是二元关系，即两个对象之间的关系，以后就不在特殊说明了。3.内容关系概念的数学定义及几种等价的定义；关系的几种特殊性质二元关系的运算：合成运算、闭包运算、逆关系二元关系的表示：关系矩阵、关系图具有几种特殊性质的关系：等价关系、偏序关系§1关系的概念1.1背景提起关系，我们就会想到一些具体的关系。父子、母子、兄弟、姐妹、同学、朋友关系等等。国

2、家之间的外交、贸易关系等等。整数之间的大于、小于、相等关系等等。矩阵之间的相似、对称、合同关系等等。这些都是一些具体的关系，它们都涉及到一些具体的事物和某种性质。因此关系是事物之间的联系，至少指两个事物并且有一定的顺序。例如：父子关系、大小关系等。前面那些具体关系都涉及两个事物，它们都是二元关系。以后都是以研究二元关系为主。§1关系的概念1.1关系的定义定义1设A，B是两个集合，一个从A×B到｛是，否｝的映射R，称为A到B的一个二元关系。或A与B间的二元关系。若A＝B，则称R为A上的二元关系。对于(a,b)∈A×B，在R下的象为“是”，则称a与b符合关系，记为aRb。对于(a,b)∈A

3、×B，在R下的象为“否”，则称a与b没有或不符合关系。说明：1.关系不是单值对应关系，而且多值对应关系。2.A与B中可能都有空闲点。3.为了便于计算机处理，0→否，1→是。有R:A×B→{0,1}，于是R是A×B子集的特征函数。Ch(A×B)2A×B⇒R就是A×B的子集。定义2设A，B是两个集合，A×B的任意子集R称为从A到B的一个二元关系。若A＝B，则称R为A上的二元关系。说明：(1)由定义2可知,A×B的任一子集R都称为A到B的二元关系。(2)Φ、A×B⊆A×B，称A×B为A到B的全关系，空集φ为A到B的空关系。恒等关系是一个重要关系。定义3集合{(a,a)

4、a∈A}称为A上的恒等

5、关系，或相等关系。记为IA，即IA={(a,a)

6、a∈A}。例：A＝{1,2,3},B＝{a,b}，则R1=A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)};--------------------------—全关系R2=φ--------------------------—空关系R3=IA={(1,1),(2,2),(3,3)}—----A上的恒等关系R4=IB={(a,a),(b,b)}—----B上的恒等关系A×B的子集都是A到B的二元关系R5＝{(1,a),(1,b),(2,a)};R6＝{(2,a),(3,b),(1,c)}。1.2定义域、

7、值域定义4设R⊆A×B，集合{x

8、x∈A且y∈B,使得(x,y)∈R},称为R的定义域，记为dom(R)集合{y

9、y∈B且x∈A，使得(x,y)∈R}称为R的值域，记为ran(R)。说明：1.一般说来，dom(R)A，ran(R)B。但在映射中，一定有dom(R)=A。2.例：A＝{a,b,c}，B＝{b,c,d}，A到B的关系R为:R＝{(a,b),(b,c),(a,c)},则dom(R)={a,b}，ran(R)={b,c}。R的定义域是R的所有序对的第一个分量构成的集合。R的值域就是R的所有序对的第二个分量构成的集合。1.3逆关系定义7设R是X上的一个二元关系，则R的逆关系

10、R-1为：R-1={(y,x)│(x,y)∈R}1.4关系图设A，B为有限集合，R是A到B的一个二元关系。首先在平面上用n个小圆点代表A中的n个元素，并在这些点的旁边标上a1,a2,…,an；然后用另外m个小圆点代表B中的m个元素，并在这些点旁边标上b1,b2,…,bm。于是有：若(ai,bj)∈R,则在顶点ai做一条带箭头的线指向bj；若(ai,bj)∉R，则在ai与bj之间没有线联结。用这种方法构造的图形称为A到B的关系R的关系图，或关系图。当A＝B时，A上的关系R的关系图画法类似。把A中的每一个元素在平面上用点表示，并在这些点旁边标上元素的名字a1,a2,…,an。若(ai,aj)

11、∈R，则从代表ai的点作一条带箭头的线指向aj。特别地，若(ai,ai)∈R，则从顶点ai也画一条指向自己的矢线，称为环。这样得到的图形称为A上的关系R的关系图，简称关系图。说明：1.为了使图形直观，易于理解，通常把A中元素画在左边，而把B中元素画在右边。2.对于A上的关系R的关系图画法，把A中这些点按顺时针方向标上元素。1.5多值部分映射定义5设A，B是集合，一个从A到2B的映射R称为A到B的一个多值部分映射，即R:A→2B。定理