信号与系统 第二版课件 教学课件 作者 于慧敏 等编著第4章.ppt

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1、第四章离散时间信号与系统的频域分析§4.0引言§4.1离散时间LTI系统的特征函数§4.2离散时间傅里叶级数(DFS)§4.3离散时间傅里叶变换(DTFT)§4.4离散时间周期信号的傅里叶变换§4.5离散时间傅里叶变换的性质§4.6对偶性§4.7离散时间LTI系统的频域分析4.0引言本章讨论离散时间信号和系统的重要数学工具：频域分析方法。本章讨论的基本思路与前一章是一样的，即基于离散时间复指数信号zn是一切离散时间LTI系统的特征函数这一事实。§4.0引言§4.1离散时间LTI系统的特征函数§4.2离散时间傅里叶级数(DFS)§4.3离散时间傅里叶变换(DTFT)§4.4离散时间周期信号的

2、傅里叶变换§4.5离散时间傅里叶变换的性质§4.6对偶性§4.7离散时间LTI系统的频域分析4.1离散时间LTI系统的特征函数与连续时间LTI系统相似，离散时间复指数信号zn是所有离散时间LTI系统的特征函数。设离散时间LTI系统，其单位脉冲响应为h[n],系统的输入信号为x[n]=zn，其中z=rej为一复数。可以通过卷积和求得系统的响应y[n]4.1离散时间LTI系统的特征函数若一个离散时间LTI系统的输入可表示为复指数信号的线性组合：输出即在系数域上，系统对输入信号的响应可描述为式中H(z)为zn的特征值，仅与复数变量z有关，表征了系统对复指信号的响应特性4.1离散时间LTI系统的

3、特征函数与连续时间LTI系统分析思路相同，我们将研究如何用复指数信号来表示一般信号。在本章中，仅考虑z=ej情况下ejn形式的复指数信号：离散时间的傅里叶变换。§4.0引言§4.1离散时间LTI系统的特征函数§4.2离散时间傅里叶级数(DFS)§4.3离散时间傅里叶变换(DTFT)§4.4离散时间周期信号的傅里叶变换§4.5离散时间傅里叶变换的性质§4.6对偶性§4.7离散时间LTI系统的频域分析4.2离散时间傅里叶级数一个基波周期为N的周期信号x[n]应满足:,其中m为任意整数。一个周期为N的成谐波关系的复指数信号集合为:满足以下性质:周期性有限独立性正交性用的线性组合来表示基波周期

4、为N的任一周期信号：离散周期信号的傅里叶级数表示。4.2离散时间傅里叶级数由于仅在k的N个相继值的区间上的信号是独立的,的线性组合形式的离散时间傅里叶级数就有如下形式：离散时间的傅里叶级数是一个有限项的级数。系数的确定:在上式两边各乘以，然后对变量n在相继的N项上求和，得:变换上式右侧求和次序,有又已知具有正交性4.2离散时间傅里叶级数可得从而有或记为4.2离散时间傅里叶级数离散时间信号及其傅里叶级数:其中：由于上面两个方程都是有限项的级数，因此只要离散时间信号x[n]本身的取值是有界的，则其傅里叶级数一定收敛。即离散傅里叶级数不存在收敛问题，同时也不存在吉布斯现象。4.2离散时间傅里叶级

5、数考查有这表明离散时间傅里叶级数的系数是以N为周期的。用极坐标表示为其中称为幅度频谱系数，称为相位频谱系数。4.2离散时间傅里叶级数考查离散时间傅里叶级数，有对应于N个未知系数的线性方程组。4.2离散时间傅里叶级数不难证明，以上N个方程是线性独立的，因此可以利用已知的x[n]值求得系数ak的唯一解。即对任何有界的离散时间周期信号，其离散时间傅里叶系数ak总是存在且惟一的。4.2离散时间傅里叶级数例4.1【例4.1】求信号和的傅里叶系数已知仅当为有理数情况下，两信号是周期的。因此，当是一个整数N的情况下，即时，两信号和是周期的，其基波周期为N。例4.1用欧拉公式，将两信号展为两个复指数信号之

6、和，即：可直接得到一周内系数为例4.1所以，有:式中为任意整数。例4.2【例4.2】求离散时间周期方波的傅里叶级数，基波周期为N。由于在内，所以例4.2当时(a)N=10化简得(b)N=20例4.2当时化简得(c)N=40例4.2当时化简得Matlab:计算离散傅里叶系数【例4.18】序列x[n]如图所示，试求其离散傅里叶系数Matlab:计算离散傅里叶系数应该注意的是，在Matlab中，数组的第一维的标号是1，因此上述代码中的a(1)实际上是离散傅里叶系数中的a0，而a(2)是a1，依此类推。结果如下：§4.0引言§4.1离散时间LTI系统的特征函数§4.2离散时间傅里叶级数(DFS)§

7、4.3离散时间傅里叶变换(DTFT)§4.4离散时间周期信号的傅里叶变换§4.5离散时间傅里叶变换的性质§4.6对偶性§4.7离散时间LTI系统的频域分析4.3.1离散时间傅里叶变换的导出有限长信号4.3.1离散时间傅里叶变换的导出4.3.1离散时间傅里叶变换的导出考虑某一离散时间信号它具有有限持续期：以外，。周期延拓构造一个周期信号，当时，有：4.3.1离散时间傅里叶变换的导出定义一函数:由于,所以该函数是周期信号，基