信号与系统 第二版课件 教学课件 作者 于慧敏 等编著第7章.ppt

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1、第七章Z变换浙江大学信息与电子工程学系§7.0引言§7.1双边Z变换§7.2Z变换收敛域§7.3Z变换的几何表示：零极点图§7.4Z变换性质§7.5常用信号的Z变换对§7.6Z反变换§7.7单边Z变换§7.8单边Z变换的性质§7.9LTI系统的Z域分析7.0引言Z变换是离散时间傅立叶变换的推广。在Z域上进行信号与系统的分析。§7.0引言§7.1双边Z变换§7.2Z变换收敛域§7.3Z变换的几何表示：零极点图§7.4Z变换性质§7.5常用信号的Z变换对§7.6Z反变换§7.7单边Z变换§7.8单边Z变换的性质§7.9LTI系统的Z域分析选择一实指数加权信号（r>0），使信号满足傅立叶变换收

2、敛条件：令复变量，离散时间信号（序列）的Z变换X(z)可定义为X(z)是z的一个幂级数。7.1双边Z变换因此，离散时间信号（序列）x[n]的Z变换可以看成乘以一实指数加权信号r-n后的傅立叶变换，可以看成是傅立叶变换的推广。当z=ej时，Z变换就成为信号的傅立叶变换，即傅立叶变换为单位圆上的Z变换。7.1双边Z变换假设r的取值使X(z)收敛，有利用傅立叶反变换的表示式，可得7.1双边Z变换Z变换：7.1双边Z变换式中记为在半径为r，以原点为中心的封闭圆上沿逆时针方向的围线积分。由z=rej，得或者。代入上式，有：7.1双边Z变换Z变换收敛：信号的傅立叶变换收敛。Z变换的收敛域：存在着

3、某一z值的范围，使Z变换X(z)收敛。对于某一具体的信号（序列），除了给出Z变换的表达式外，必须同时给出明确的收敛域。例7.1【例7.1】求序列的Z变换。为使收敛，必须满足，即故Z变换为解：对于，例7.1的收敛域如图所示图7-1当时，例7.1的零极点和收敛域例7.1例7.2【例7.2】设序列，求其Z变换。令m=-n，则例7.2图7-2当时，例7.2的零极点和收敛域显然上式只有当,即时收敛，此时Matlab:计算Z变换【例7.26】计算下列信号的Z变换。（1）（2）解：程序和运行结果如下(1)(2)§7.0引言§7.1双边Z变换§7.2Z变换收敛域§7.3Z变换的几何表示：零极点图§7.4

4、Z变换性质§7.5常用信号的Z变换对§7.6Z反变换§7.7单边Z变换§7.8单边Z变换的性质§7.9LTI系统的Z域分析为使Z变换收敛，就要求信号的傅立叶变换收敛。因此，它的Z变换的ROC就是由这样一些值所组成，在这些Z值上，绝对可和，即：因此，收敛域仅决定于，而与无关。由此可得，若某一具体的Z值是在ROC内，那么位于以原点为圆心的同一圆上的全部Z值（他们具有相同的模）也一定在该ROC内，这就保证了X(z)的ROC是由以原点为中心的圆环组成。7.2Z变换收敛域例7.3【例7.3】设双边序列，对于b>1，没有任何公共的ROC。对于b<1，上式的ROC有重叠，因此合成序列的Z变换是例7.4

5、【例7.4】求序列的Z变换，并确定它的收敛域。解：这个序列可看成n1=n2=0时有限长序列的特例，由于所以收敛域是整个平面（）。例7.5【例7.5】求序列的Z变换,并确定它的收敛域。解：其双边Z变换为当和时，上面的级数收敛。或者等效为和。因此，其收敛域是。例7.5图7-6例7-5的ROC在有限区间之内序列才具有非零的有限值，其Z变换为级数收敛，一般要求由于有界，显然，在上，都满足此条件。故有限长序列的收敛域至少是除z=0和z=∞外的整个Z平面。7.2Z变换收敛域1.有限长序列如对情况其收敛域就是除z=0和z=∞外的整个Z平面。7.2Z变换收敛域7.2Z变换收敛域在n1、n2的特殊选择下，

6、收敛域还可扩大：若，收敛域为，即除z=0外的整个Z平面。若，收敛域为，即除z=∞外的整个Z平面。若，收敛域为，即除z=0和z=∞外的整个Z平面。2.右边序列：当时，x[n]=0。Z变换为上式右端第一项为有限长序列的Z变换。第二项是Z的负幂级数。存在一个收敛半径，级数在以原点为中心，以为半径的圆外任何点都绝对收敛。7.2Z变换收敛域因此，右边序列Z变换的收敛域为。若，则不存在第一项，故收敛域应包括Z=∞，收敛域为。图7-3右边序列的ROC7.2Z变换收敛域左边序列Z变换的收敛域为。若，则不存在第二项，故收敛域应包括Z=0，收敛域为。3.左边序列：当时，x[n]=0。7.2Z变换收敛域Z变换

7、为上式右端第二项为有限长序列的Z变换，第一项是正幂级数。按级数收敛理论可推知，必有收敛半径，级数在以原点为中心，以为半径的圆内任何点都绝对收敛。图7-4左边序列的ROC7.2Z变换收敛域双边序列是从n=-∞延伸到n=+∞的序列，可以看成是一个右边序列和一个左边序列之和，即上式右边第一个级数是右边序列，其收敛域为；第二个级数是左边序列，收敛域为。如果满足则存在公共收敛域，收敛域为这是一个环状区域。7.2Z变换收敛域4.双边序列7.2Z