高考数学一轮复习课后限时集训31平面向量的数量积与平面向量应用举例理北师大版.docx

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1、课后限时集训31平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：45分钟一、选择题1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足

2、a

3、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)A.B．－C.D．－D　[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b与b垂直

4、，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]3．已知向量a，b满足

5、a

6、＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，则

7、a－b

8、＝(　　)A.B.C．2D.A　[因为

9、a

10、＝1，b＝(2,1)，且a·b＝0，所以

11、a－b

12、2＝a2＋b2－2a·b＝1＋5－0＝6，所以

13、a－b

14、＝.故选A.]4.如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算·＝(　　)A．10B．11C．12D．13B　[以A为坐标原点

15、，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，∴·＝4×2＋1×3＝11，故选B.]5．(2019·银川模拟)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是(　　)A.∪B.C．(－∞，－2)∪D.C　[不妨令i＝(1,0)，j＝(0,1)，则a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，因为它们的夹角为锐角，所以a·b＝1－2λ＞0且a，b不共线，所以λ＜且λ≠－2，故选C.]6．(2019·河北衡水模拟

16、三)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,4)，则“k＝－”是“

17、a＋b

18、2＝a2＋b2”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C　[由

19、a＋b

20、2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得(1，k)·(2,4)＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“

21、a＋b

22、2＝a2＋b2”的充要条件．故选C.]7．(2019·宝鸡模拟)在直角三角形ABC中，角C为直角，且AC＝BC＝1，点P是斜边上的一个三等分点，则·＋·＝(　　)A．0B．1C.D．

23、－B　[以点C的坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以·＋·＝·(＋)＝＋＝1.故选B.]二、填空题8．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且

24、a

25、＝2，

26、b

27、＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．　[∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝.]9．已知平面向量a，b

28、满足

29、a

30、＝1，

31、b

32、＝2，

33、a＋b

34、＝，则a在b方向上的投影等于________．－　[∵

35、a

36、＝1，

37、b

38、＝2，

39、a＋b

40、＝，∴(a＋b)2＝

41、a

42、2＋

43、b

44、2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.]10．(2019·天津高考)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.－1　[法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，在△E

45、AB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,0)，D(5,0)，E(1，)，B(3，)，∴＝(2，－)，＝(1，)，∴·＝(2，－)·(1，)＝－1.法二：同法一，求出EB＝EA＝2，以，为一组基底，则＝－，＝＋＝－，∴·＝(－)·＝·－2＋·－2＝×5×2×－12－×25＝－1.]1．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足

46、a＋b

47、＝

48、a－b

49、＝2

50、b

51、，则向量a＋b与a的夹角为(　　)A.B.C.D.A　[法一：由

52、a＋b

53、

54、＝

55、a－b

56、知，a·b＝0，所以a⊥b.将

57、a－b

58、＝2

59、b

60、两边平方，得

61、a

62、2－2a·b＋

63、b

64、2＝4

65、b

66、2，所以

67、a

68、2＝3

69、b

70、2，所以

71、a

72、＝

73、b

74、，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为，故选A.法二：∵

75、a＋b

76、＝

77、a－b

78、，∴a⊥b.在四边形ABCO中，设

79、

80、＝

81、b

82、＝1，

83、a＋b

84、＝2

85、b

86、＝2，∴

87、a

88、＝，∴〈a＋b，a〉＝∠BOA，∴在Rt△OBC中，∠BOA＝.]2．已知平面向量a，b，c满足

89、a

90、＝

91、b

92、＝

93、c

94、＝1，