2022版高考数学一轮复习课后限时集训34平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析.doc

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1、课后限时集训(三十四)平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时：40分钟一、选择题1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足

2、a

3、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．0B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]2．已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为(　　)A．B．－C．D．－D　[∵a＝(－2,3)，b＝(1,2)，∴λa＋b＝(－2λ＋1,3λ＋2)．∵λa＋b与b垂直，∴(λa＋b)·b＝0，∴(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝0，即－

4、2λ＋1＋6λ＋4＝0，解得λ＝－.]3．(多选)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，设a与b的夹角为α，则(　　)A．若a∥b，则x＝－2B．若x＝1，则

5、b－a

6、＝C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°D．若a＋2b与a垂直，则x＝3ABD　[由a∥b可得x＝－2，故A正确；若x＝1，则b＝(2,1)，

7、b－a

8、＝

9、(2,1)－(1，－1)

10、＝＝，故B正确；当x＝－1时，cos〈a，b〉＝＝＝≠，故C错误；a＋2b＝(5，－1＋2x)，由5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x＝3，故D正确．]4．(2020·武汉模拟)已知向量

11、a

12、＝，向量a与b夹角为，且a·b＝－1

13、，则

14、a－b

15、＝(　　)A．B．2C．D．4A　[由平面向量数量积的定义可知，a·b＝

16、a

17、·

18、b

19、·cos＝·

20、b

21、·＝－1，∴

22、b

23、＝1，∴

24、a－b

25、＝＝＝＝.故选A.]5．若O为△ABC所在平面内任意一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形A　[∵(－)·(＋－2)＝0，∴·[(－)＋(－)]＝·(＋)＝0.设D为边BC的中点，则＋＝2，即·＝0.由此可得在△ABC中，BC与BC边上的中线垂直，∴△ABC为等腰三角形．故选A.]6．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列

26、等式成立的是(　　)A．

27、

28、2＝·B．

29、

30、2＝·C．

31、

32、2＝·D．

33、

34、2＝ABD　[因为·＝

35、

36、

37、

38、cosA＝

39、

40、

41、

42、，由射影定理可得

43、

44、2＝·，选项A正确；因为·＝

45、

46、

47、

48、cosB＝

49、

50、

51、

52、，由射影定理可得

53、

54、2＝·，选项B正确；由·＝

55、

56、

57、

58、cos(π－∠ACD)<0，

59、

60、2>0，知选项C错误；由题图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以

61、

62、

63、

64、＝

65、

66、

67、

68、，结合选项A，B可得

69、

70、2＝，选项D正确．故选ABD.]二、填空题7．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.　[由题意，得a·b＝

71、a

72、·

73、b

74、cos45°＝.因为

75、向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.]8．已知平面向量a，b满足

76、a

77、＝1，

78、b

79、＝2，

80、a＋b

81、＝，则a在b方向上的投影等于________．－　[∵

82、a

83、＝1，

84、b

85、＝2，

86、a＋b

87、＝，∴(a＋b)2＝

88、a

89、2＋

90、b

91、2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.]9．(2020·山东师范大学附属中学一模)已知向量a，b，

92、a

93、＝，

94、b

95、＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.　6　[设向量a，b的夹角为θ，因为

96、a

97、＝，

98、b

99、＝2，且(a－b)

100、⊥a，所以(a－b)·a＝

101、a

102、2－a·b＝

103、a

104、2－

105、a

106、

107、b

108、cosθ＝3－2·cosθ＝0，解得cosθ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝，所以a·(a＋b)＝

109、a

110、2＋

111、a

112、·

113、b

114、·cosθ＝3＋2×＝6.]三、解答题10．已知向量a＝(1，－1)，b＝(sinθ，cosθ)，0＜θ＜π.(1)若向量a∥b，求θ的值；(2)若向量a·b＝，求.[解]　(1)∵a＝(1，－1)，b＝(sinθ，cosθ)，∴当a∥b时，1×cosθ＝(－1)×sinθ，即cosθ＝－sinθ.∵θ∈(0，π)，∴θ＝.(2)∵a＝(1，－1)，b＝(sinθ，cosθ)，∴当a·b＝时，1×s

115、inθ＋(－1)×cosθ＝，可得sinθ－cosθ＝⇒(sinθ－cosθ)2＝⇒1－2sinθcosθ＝，∴sinθcosθ＝.∴＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)×＝sinθcosθ＝.11．(2020·徐州模拟)已知向量m＝(cosx，sinx)，n＝(sinx，sinx)，函数f(x)＝m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若α∈，f＝，求sinα的值．[解]　∵向量m＝(cosx，sinx)，n＝(sinx，sinx)，∴函数f(x)＝m·n＝sinxcosx＋sin2